Содержит готовые шпоры по курсу Векторного анализа (лекции и задачи).

Ссылка на скачивание внизу страницы.

Вопросы к экзамену по курсу

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Производная по направлению и градиент

1. Понятие скалярного поля. Частные производные функции трех переменных. Производная по направлению. Градиент. Вычисление производной по направлению с помощью градиента.

2. Поверхности уровня скалярного поля. Ориентация векторов grad j относительно поверхностей уровня. Определение градиента, не зависящее от выбора системы координат. Градиент суммы, произведения и частного двух функций. Градиент функции j=1/r.

3. Применение понятия градиента для решения геометрических задач. Траектории световых лучей, отраженных параболическим, эллиптическим и гиперболическим зеркалом. Свойства параболической антенны.

4. Применение понятия градиента в теории теплопроводности. Стационарное температурное поле. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности. Плотность теплового потока. Уравнение теплопроводности. Задача о нагревании металлической пластинки электрическим током.

5. Применение понятия градиента в гидродинамике. Идеальная жидкость. Объемная плотность сил давления. Уравнение Эйлера. Форма поверхности вращающейся жидкости.

Дивергенция и теорема Остроградского–Гаусса

6. Понятие векторного поля и его линий. Поток векторного поля сквозь ориентированную поверхность. Свойства потоков. Определение дивергенции векторного поля с помощью поверхностного интеграла. Теорема Остроградского–Гаусса.

7. Вычисление дивергенции в декартовых координатах. Значение выражений div(j) и div(grad j). Оператор Лапласа.

8. Преобразование объемного интеграла от градиента в поверхностный интеграл. Определение градиента скалярного поля с помощью поверхностного интеграла. Результирующая сила, действующая со стороны жидкости на погруженное в нее тело.

9. Дивергенция электрического поля точечного заряда. Поток электрического поля заряда сквозь замкнутую поверхность, охватывающую заряд и не охватывающую заряда. Свойство потока электрического поля системы точечных зарядов. Дивергенция электрического поля при непрерывном распределении зарядов.

10. Аналогия между свойствами электрических и гравитационных полей. Поток гравитационного поля сквозь замкнутую поверхность. Гравитационное поле однородного шара. Максимальная напряженность гравитационного поля Земли.

Ротор и теорема Стокса

11. Определение линейного интеграла от векторного поля вдоль ориентированной кривой. Свойства линейного интеграла. Циркуляция поля вдоль замкнутого пути. Способы вычисления линейных интегралов.

12. Определение ротора векторного поля с помощью поверхностного интеграла. Преобразование объемного интеграла от ротора в поверхностный интеграл.

13. Формула для проекции ротора на выбранное направление.

14. Теорема Стокса.

15. Вычисление ротора в декартовых координатах. Ротор как определитель символической матрицы. Теорема Грина. Значение выражений rot(grad j) и div(rot ).

16. Оператор Гамильтона. Действие оператора на скалярные и векторные поля, на произведение двух полей. Градиент, дивергенция и ротор как результат действия оператора Гамильтона. Символический метод. Значение выражений rot(rot ), rot(j×) и div(´).

17. Ротор магнитного поля прямого провода с током. Циркуляция магнитного поля вдоль замкнутого пути, охватывающего провод и не охватывающего провода. Закон полного тока.

18. Движение тела, погруженного в жидкость. Момент сил давления относительно центра масс. Центр плавучести. Условия равновесного положения тела в С-системе.

Скалярный потенциал

19. Определение потенциального векторного поля. Скалярный потенциал. Неоднозначность скалярного потенциала. Свойства линейного интеграла в потенциальном поле. Безвихревой характер потенциальных полей. Нахождение скалярного потенциала по заданному векторному полю.

20. Необходимое и достаточное условие потенциальности. Понятие связности области. Достаточное условие потенциальности безвихревого поля. Доказательство потенциальности электрического поля равномерно заряженного провода. Циркуляция и ротор этого поля.

21. Доказательство потенциальности электрического поля точечного заряда. Потенциал поля заряда относительно бесконечно удаленной точки. Напряжение между двумя точками в электрическом поле точечного заряда.

22. Безвихревое векторное поле в двусвязной области. Зависимость линейного интеграла от выбора пути, соединяющего две точки. Циклическая постоянная. Скалярный потенциал в области с дополнительной границей. Предельные значения потенциала в точках этой границы.

23. Магнитное поле прямого провода с током как пример безвихревого поля, не являющегося потенциальным. Построение скалярного потенциала этого поля в области с дополнительной границей. Значение циклической постоянной.

Векторный потенциал

24. Определение соленоидального векторного поля. Векторный потенциал. Неоднозначность векторного потенциала. Свойства потока и дивергенция соленоидального поля. Векторная трубка. Интенсивность векторной трубки соленоидального поля.

25. Необходимое и достаточное условие соленоидальности. Построение векторного потенциала соленоидального поля. Достаточное условие соленоидальности поля, свободного от источников.

26. Доказательство соленоидальности магнитного поля прямого провода с током. Векторный потенциал этого поля (два различных решения).

Основная задача векторного анализа

27. Основные уравнения электростатики. Задача о нахождении безвихревого поля по его источникам в неограниченном пространстве. Уравнение Пуассона. Ньютонов потенциал как решение уравнения Пуассона. Условие сходимости несобственного интеграла.

28. Основные уравнения магнитостатики. Задача о нахождении поля, свободного от источников, по его вихрям. Необходимое условие разрешимости этой задачи. Векторный потенциал искомого поля и его калибровка. Уравнения для компонент векторного потенциала и их решения для неограниченного пространства. Условие сходимости несобственных интегралов.

29 .Общая задача о нахождении векторного поля по его источникам и вихрям. Построение решения во всем неограниченном пространстве.

Понятие тензора

30. Ортонормированный базис евклидова пространства геометрических векторов. Свойства матрицы, задающей переход от одного ортонормированного базиса к другому такому же. Понятие линейного оператора и его матрицы. Преобразование координат вектора и элементов матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

31. Определение ортогонального тензора нулевого, первого и второго ранга. Координаты тензора. Скалярная величина, вектор и матрица линейного оператора как примеры ортогональных тензоров соответствующих рангов. Физический пример: явление электропроводности в линейных анизотропных средах. Тензор электропроводности.

32. Понятие симметричного тензора. Процедура приведения симметричного тензора второго ранга к главным осям.

Вопросы составил Афанасьев А. М.