7. Дифракция света.
Под дифракцией света обычно понимают отклонения закономерностей распространения света от законов, предписываемых геометрической оптикой. В явлениях дифракции, как и в интерференции, проявляются волновые свойства света. Дифракцию можно наблюдать, например, когда на пути распространения света находятся препятствия, т.е. непрозрачные тела произвольной формы (экраны) и свет проходит сквозь отверстия в экранах или когда волновой фронт искусственно ограничен. Тщательный опыт показывает, что вместо резкой границы между светом и тенью (как предсказывает геометрическая оптика) получается сложная картина распределения освещенности, состоящая из темных и светлых участков – дифракционных полос. Теория дифракции света дает строгое обоснование геометрической оптике и определяет условия ее применимости. Математически строгое решение дифракционных задач на основе волнового уравнения (или уравнений Максвелла) с граничными условиями, зависящими от характера препятствий, как правило, представляет значительные трудности. Поэтому чаще всего применяются приближенные методы решения задачи о распределении света вблизи границы между светом и тенью, основанные на принципе Гюйгенса – Френеля.
Рис.7.1
Пусть A – источник света, а  – произвольная замкнутая поверхность, охватывающая A (рис.7.1). Принцип Гюйгенса – Френеля: в любой точке, находящейся вне поверхности , световая волна, возбуждаемая источником A, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, которые “излучаются” элементарными воображаемыми источниками, непрерывно распределенными вдоль вспомогательной поверхности . Иными словами, вне поверхности  действительно распространяющаяся (первичная) волна может быть заменена системой когерентных фиктивных вторичных волн, интерферирующих при наложении. Рассмотрим экран с некоторым отверстием, через которое проходит свет от данного источника A. Проведем мысленно произвольную поверхность , закрывающую отверстие в экране и ограниченную краями отверстия. Разделим эту поверхность на элементарные участки площадью d, малые по сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с длиной волны.  Каждый из этих участков сам становится источником вторичных волн, распространяющихся во все стороны. Пусть E(r1) – напряженность поля в самом участке d. Напряженность поля dEp, создаваемая элементарным участком d в точке наблюдения P определяется формулой:

				(7.1)

где K() – некоторый коэффициент, учитывающий зависимость амплитуды вторичных волн от угла  между вектором k и направлением на точку наблюдения. Полное поле в точке P представляет собой суперпозицию полей (7.1) от всех элементов d поверхности, закрывающей отверстие в экране:

			(7.2)

Эта формула дает математическое выражение принципа Гюйгенса – Френеля.
Зоны Френеля. Пусть сферическая волна падает на непрозрачный экран с отверстием. Требуется найти распределение интенсивности света за экраном. Для решения этой задачи делаются два предположения:
Рис.7. 2
1.	непроницаемые части экрана не являются источниками вторичных волн;
2.	в отверстии точки волнового фронта являются такими же источниками вторичных волн, какими они были бы при отсутствии непроницаемых частей экрана.
Пусть A – источник сферической волны, S – волновой фронт в некоторый момент времени, R – радиус кривизны этого фронта (рис.7.2). Найдем интенсивность в точке P с помощью принципа Гюйгенса – Френеля. Разобьем поверхность S на кольцеобразные зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны (в разрезе это соответствует точкам M1, M2, M3 , …) до P отличались на /2 (эти зоны называются зонами Френеля):
		(7.3)
Из геометрии рис.7.3 можно получить для радиуса m–й зоны Френеля rm  :
		(7.4)

Исключая величину  dm  и пренебрегая слагаемыми 2 ввиду их малости, получаем:
					(7.5)

Площади всех зон Френеля примерно одинаковы (в случае пренебрежения кривизной поверхности, что не вносит существенной ошибки, если радиусы зон Френеля много меньше радиуса кривизны волнового фронта (обычно это справедливо для очень большого числа зон Френеля)):

Рис.7.3
					(7.6)

Графическое вычисление амплитуды (метод векторных диаграмм).  Разделим каждую из зон на большое число N участков. Между началом и концом зоны фаза меняется на , а между малыми участками – на  = /N . Пусть E0 – амплитуда волны, приходящей в точку наблюдения P от каждого участка; а фаза волны, приходящей из точки D в точку P – равна нулю. Комплексная амплитуда  волны в точке P от центральной зоны Френеля с учетом интерференции равна:

		(7.7)

Рис.7.4
Аналитическое сложение амплитуд можно проделать графически, изображая комплексную амплитуду в виде вектора (рис.7.3). При увеличении числа разбиений до бесконечности ломаная кривая превращается в плавную. Длина вектора DM1  пропорциональна амплитуде волны в точке P, когда открыта вся центральная зона Френеля. Аналогично продолжая построение, можно получить кривую, по которой легко определить амплитуду волны (и ее интенсивность), зная соотношение диаметров открываемого отверстия и зон Френеля. При строгом равенстве амплитуд в (7.7) складываемых колебаний от элементарных участков результирующая амплитуда от двух открытых соседних зон была бы равна нулю, т.е. вторичные волны в результате интерференции гаси ли бы друг друга, но коэффициент наклона K() в (7.1) убывает по мере увеличения  и приводит к уменьшению амплитуд вторичных волн. Поэтому полученная кривая не замыкается, а имеет вид спирали. Зависимость амплитуды поля в точке P от радиуса отверстия показана на рис.7.4.
Пятно Пуассона. Если на пути световой волны стоит непрозрачный круглый экран, то за экраном в его тени на оси возникает светлое пятно, называемое пятном Пуассона. Необходимость возникновения светлого пятна очевидна из рассуждений по методу зон Френеля. Экран закрывает некоторое число зон Френеля начиная с центральной. Однако следующие зоны после последней из закрытых создают в точке P освещенность, значение которой можно рассчитать с помощью спирали. Т.о., получается, что волна как бы огибает непрозрачный экран. Интенсивность пятна Пуассона весьма слаба при больших размерах непрозрачного экрана. Кроме того, необходимо, чтобы свет обладал достаточно большой степенью когерентности.
Отметим, что можно наблюдать и противоположный эффект – темное пятно в центре картинки при дифракции на открытом отверстии. Такое пятно называется пятном Араго.
Зонная пластинка. Закроем все нечетные зоны, оставив открытыми четные (или наоборот). В результате получится пластинка, называемая зонной пластинкой. Из рис. 7.3 видно, что амплитуды поля в точке P будут определяться суммой сонаправленных векторов и т.д. Поэтому осуществляется интерференция волн с усилением. Следовательно, в точке P на оси происходит значительное усиление интенсивности света (примерно в m2 большее, чем дает отверстие в одну зону), т.е. в этой точке свет фокусируется. Зонная пластинка ведет себя как линза. Найдем фокусное расстояние f такой линзы. Будем считать, что лучи падают на зонную пластинку параллельно оси системы, т.е. R = . Тогда точка P является фокусом. Формула (7.5) примет вид:

					(7.8)

Следовательно фокусное расстояние равно:

					(7.9)

Формула  такой линзы принимает вид:

					(7.10)

В отличие от обычной линзы зонная пластинка имеет несколько фокусов на оси системы в зависимости от количества открытых зон. Отметим, что и расположение зон Френеля на волновом фронте зависит от геометрии рассматриваемой системы.
Интенсивность света в фокусе можно увеличить еще в 4 раза по сравнению с зонной пластинкой, если изменить на  фазы вторичных волн, исходящих от всех нечетных (или наоборот – четных) зон. Это можно сделать, например, химическим травлением стеклянной пластинки в нужных местах, чтобы ее толщина там уменьшилась на (n – 1)/2. В этом случае вторичные волны от всех точек волновой поверхности приходят в точку фокуса в одинаковых фазах. Такая дифракционная линза называется линзой Френеля.
Трудности метода зон Френеля.  Метод зон Френеля приводит к результатам, которые хорошо согласуются с экспериментом для практически важных случаев, когда размеры препятствий много больше длины волны. Однако метод имеет существенные недостатки:
1.	Он не решает вопроса о законе ослабления амплитуды вторичных волн в зависимости от направления распространения. Эту зависимость приходится постулировать.
2.	Метод Френеля дает неправильную фазу волны. Фаза на фронте волны принимается  по определению равной нулю. Поэтому амплитуда волны задается вектором  (рис.7.3). Вычисленная по методу Френеля амплитуда задается вектором , т.е. отличается от фактической фазы волны на /2. Хотя для многих практических явлений, зависящих от модуля амплитуды, эта разница в фазах несущественна, она все же с теоретической точки зрения имеет принципиальный характер. Это удается объяснить лишь в более строгой теории дифракции, основанной на интеграле Кирхгофа.
Приближение Кирхгофа.  Из теоремы Остроградского–Гаусса 

				(7.11)

положив  находим:

	(2-я формула Грина)	(7.11)

Производные в правой части (7.11) берутся по длине параллельно внешней нормали к замкнутой поверхности S. V – объем, ограниченный поверхностью S. Функции G и Ф вместе со своими первыми и вторыми частными производными непрерывны внутри V  и на S . 
Рассмотрим монохроматическую волну
				(7.12)

Подставляя это выражение в волновое уравнение, получим для пространственно зависящей амплитуды:

	(k – волновое число)		(7.13)
Пусть объем V ограничен поверхностью S. Точка P0 – фиксированная точка внутри этого объема (начало отсчета), P1 – переменная точка, отличная от P0 и характеризуемая радиус-вектором r01. Функция

					(7.14)

удовлетворяет уравнению (7.13) всюду, кроме точки P0 . В P0 функция G обращается в бесконечность, а ее производные терпят разрыв. Значит во всем объеме V формулу Грина применять нельзя. Окружим точку P0 малой сферой S1 (и объемом V1) радиусом  с центром в P0 . Вне объема V1 мы имеем право применять формулу Грина. Т.к. 

		(7.15)

то 				(7.16)

Отметим, что внешняя нормаль n к S1 направлена внутрь V1 . Из (7.16) получаем:
			(7.17)

Для точек P1 на поверхности S имеем:

		(7.18)

Индекс 1 в grad  показывает, что grad вычисляется по координатам точки P1 , т.е. grad1 r01 = r01 / r01. Очевидно, что grad0 r01 = r10 / r10 . Отсюда grad1 r01 = – grad0 r01 Для точек P1 на S1 справедливо:

		(7.19)

При  получаем:

(7.20)

Поэтому из (7.20) и (7.17) имеем:

		(7.21)
Это интегральное уравнение называется интегральной теоремой Гельмгольца-Кирхгофа и является основой скалярной теории дифракции. Она позволяет вычислить значение функции Ф в любой точке внутри объема, если известны значения функции и ее производной по нормали на поверхности, ограничивающей этот объем.
Для того, чтобы (7.21) использовать не как интегральное уравнение для Ф, а как формулу для вычисления Ф(P0) по известным значениям этой функции и ее производной в точках плоского экрана, Кирхгоф предложил следующие правила для определения их значений в плоскости экрана (приближение Кирхгофа):
1.	На отверстиях Ф и Ф/n имеют те же значения, какие они имели бы при отсутствии непрозрачных частей экрана.
2.	На непрозрачных частях экрана Ф = 0 и Ф/n = 0.
Выбор граничных условий в соответствии с этими правилами приводит к решению задач дифракции в приближении Кирхгофа. Граничные условия Кирхгофа никогда точно не выполняются, т.к.: 
•	на краях отверстий должны соблюдаться определенные граничные условия, которые можно найти в соответствии с электромагнитной теорией света;
•	за экраном не может быть резкой тени, т.е. скачкообразного обращения Ф в нуль.
Приближение Кирхгофа хорошо работает при линейных размерах отверстий (или экранов) много больших длины волны.
Оптическое приближение.  В видимом диапазоне как правило соблюдается условие:
	(оптическое приближение)	(7.22)

При его выполнении (7.21) принимает вид:

		(7.23)

Формула дифракции Френеля-Кирхгофа. Пусть на отверстие падает сферическая волна, исходящая из точки  P2 (рис.7.5):

				(7.24)

Учитывая (7.18) и (7.23), получим в оптическом приближении:

	(7.25)

где S0 – площадь отверстия. (На непрозрачных частях экрана подынтегральное выражение равно нулю.) (7.25) называется формулой дифракции Френеля-Кирхгофа.

Рис.7.5
Из (7.25) видно, что точечный источник, помещенный в P2 , даст в точке такой же эффект, как и эффект, создаваемый в точке P2 таким же точечным источником, расположенным в P0 (теорема взаимности Гельмгольца).
Вторичные источники. 	Обозначим:

(7.26)

Тогда (7.25) примет вид:
			(7.27)
Видно, что отличие вторичных источников на отверстии S0 от волны  заключается в следующем:
1.	Амплитуда вторичной волны отличается от амплитуды падающей волны множителем k/4.
2.	Зависимость амплитуды вторичной волны от направления распространения дается множителем  , который отличается от множителя, предлагавшегося Френелем.
1.	Фаза вторичного источника отличается от фазы падающей волны на /2 из-за множителя – i .
Таким образом, в приближении Кирхгофа в рамках электромагнитной теории света удается преодолеть трудности метода зон Френеля.
Приближение Френеля. Пусть дифракционная картина наблюдается в плоскости (плоскости дифракционной картины), параллельной экрану с отверстиями (плоскости источников), l – расстояние между этими плоскостями. В каждой плоскости введем системы координат, как показано на рис.7.6. P0 – точка наблюдения.  – амплитуда источников. . Тогда 

	(7.28)
Рис.7.6

Члены с косинусами являются медленно меняющимися функциями по сравнению с быстро осциллирующей экспонентой. Кроме того, углы обычно на практике изменяются в небольших пределах вблизи нуля. Тогда (7.28) с учетом этого приближения упрощается:

(7.29)

При малых углах обычно соблюдаются и следующие неравенства:

		(7.30)

Тогда с учетом этого разложим r в ряд по (7.30) и ограничимся квадратичными членами:

	(7.31)

где медленно изменяющаяся величина r  l в знаменателе вынесена за интеграл, т.к. она на влияет на видность интерференционной картины, а только слабо влияет на общую яркость.
Полученное приближение называется приближением Френеля, а соответствующая ему дифракция – дифракцией Френеля.
Дифракция Фраунгофера.	Разложим показатель экспоненты в (7.31):

.	(7.32)

Тогда (7.31) перепишется в виде:
		(7.33)

Если рассматривать в дальнейшем относительное распределение интенсивности, а не поля в дифракционной картине, то наличие комплексных экспонент перед интегралом можно не учитывать. С другой стороны, если учесть, что  на непрозрачных частях экрана, то интегрировать можно по координатам от – до +. Поэтому с точностью до множителей функция Ф(x,y) является Фурье–образом функции f(x’,y’) в (7.33) и для изучения дифракционных эффектов можно воспользоваться формализмом преобразований Фурье. При определенных условиях можно перейти и к Фурье–образу от функции без экспоненциального множителя. Это можно осуществить при достаточно малых размерах отверстия и при . Дифракция при этом называется дифракцией Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах). Пренебречь экспонентой можно не только при , но и при условии, чтобы она не осциллировала (показатель не должен превышать /4, т.е. Re > Im). Т.о., область дифракции Фраунгофера простирается от  бесконечности до некоторого минимального значения:

					(7.34)

где ’ – максимальное расстояние от центра до края отверстия, на котором происходит дифракция. Дифракцию в этой области можно наблюдать на экране без дополнительных устройств. Однако проще наблюдать в фокальной плоскости линзы, расположенной после объекта. Формула (7.33) в области дифракции Фраунгофера принимает вид:

.			(7.35)

Рис.7.7
Отметим, что здесь еще необходимо при практических расчетах учесть множитель перед интегралом, определяющий размерность.
Рассмотрим несколько примеров дифракции Фраунгофера.
Дифракция на прямоугольном отверстии (рис.7.7). Отверстие имеет стороны a  и b. На отверстии фаза и амплитуда плоской волны постоянна. Комплексная амплитуда волны на отверстии обозначим A0. Тогда, применяя формулу (7.35), получаем для амплитуды поля при дифракции:

 		 (7.36)

где .
Интенсивность в дифракционной картине с точностью до постоянного множителя имеет вид (см. рис.7.8):
.
				 (7.37)
Рис.7.8

Рис. 7.9
Дифракция на щели. 
Рассмотрим падение плоской монохроматической световой волны на бесконечную щель шириной b (рис.7.9). Участок dx, находящийся на расстоянии x от левого края щели (начала координат), в направлении Z’ излучает плоскую волну с запаздыванием фазы относительно точки О на kxsin. Угол  отсчитывается от оси Z – нормали к щели (первоначального направления падающей волны), k – волновое число падающей волны. При записи амплитуды волны учтем, что вся щель в направлении  = 0 посылает излучение с амплитудой E0. Предполагая равномерное распределение амплитуды по щели, получим, что участок dx щели пошлет в направлении Z’ волну dE1 с амплитудой E0dx/b :

			(7.39)
Отсюда имеем для амплитуды волны от всей щели:

		(7.40)

После несложного интегрирования и перехода от поля к интенсивности, получаем интенсивность дифракционной картины:

					(7.41)

	где I0 = E02 ;  I1 = E12 ;  .		(7.42)

Проанализируем выражение (7.41). 
1.	При  = 0  u =0. Используя соотношение , получаем, что в центре дифракционной картины интенсивность максимальна и равна I0 .
2.	При углах , для которых sinu = 0, а u  0 интенсивность света обращается в нуль. Тогда условие минимума дифракционной картины на одиночной щели принимает вид:

			(7.43)

Рис. 7.10
3.  Основная часть потока энергии сосредоточена в пределах изменения угла дифракции  между первыми (n = 1) симметричными максимумами. График зависимости (7.41) приведен на рис.7.10.
3.	Чем меньше (уже) щель, тем шире центральный максимум. Нетрудно заметить,  что при b   центральный максимум расплывается на всю полуплоскость (  /2). Дальнейшее уменьшение щели приводит лишь к монотонному уменьшению интенсивности прошедшего света.
Изучение картины дифракции дает информацию о ширине щели, если известна длина волны используемого света. Наоборот, зная ширину щели, можно найти длину волны. Таким образом, дифракционная картина от данного объекта имеет характерный вид, позволяющий получать информацию о размерах этого объекта. Отмеченное обстоятельство носит достаточно общий характер и лежит в основе метрологического применения дифракционных явлений.
Дифракция на круглом отверстии.	Пусть R – радиус отверстия. Расчет удобнее вести в полярных координатах (r, ) и (r’, ’) в плоскостях отверстия и дифракционной картины:

		(7.44)

Тогда (7.35) для этого случая запишется в виде:

	(7.45)

где – функция Бесселя m-го порядка. Воспользуемся свойством функций Бесселя:

.				(7.46)

Тогда получаем (рис.7.11):

Рис.7.11

.			(7.47)

Интенсивность дифракционной картины определяется квадратом этой функции, т.е. в центре картины имеется светлое круглое пятно, окруженное темными и светлыми кольцами. Максимумы интенсивности быстро убывают. Радиусы колец определяются из корней функции Бесселя J1 ()=0. Угловой размер центрального светлого пятна, наблюдаемого из центра круглого отверстия, равен:
 .				(7.48)
Дифракционная решетка. Прозрачная (амплитудная) дифракционная решетка представляет собой правильную плоскую структуру из большого количества параллельных щелей с шириной каждой щели b и расстоянием d между соседними щелями. Расстояние d чаще называют периодом  или постоянной дифракционной решетки (рис.7.12). Пусть на эту решетку нормально падает плоская монохроматическая волна. Найдем интенсивность света I в дифракционной картине.

Рис. 7.12
Методика расчета и система обозначений та же, что и для одиночной щели. От элемента dx какой-то n-й щели в исследуемом направлении распространяется волна вида:
	(7.49)
Вся n-я щель пошлет волну вида:

	(7.50)
Для учета действия всех щелей по принципу суперпозиции можно сложить все образовавшиеся напряженности поля:

 (7.51)
где N – полное число щелей, участвующих в дифракции. Множитель с интегралом был посчитан выше для случая одной щели. Он не зависит от n и может быть вынесен за знак суммы. Введем обозначение:
 				 	(7.52)

Сумма в (7.51) представляет собой сумму N членов геометрической прогрессии. Тогда (7.51) перепишется в виде:

	(7.53)
Интенсивность света в дифракционной картине получается умножением (7.53) на комплексно сопряженную величину I=EE*  :

				(7.54)

Множитель (sinu/u)2 характеризует распределение интенсивности в результате дифракции плоской волны на каждой щели и является огибающей всей дифракционной картины, а множитель (sinN/sin)2 учитывает интерференцию между волнами, исходящими от всех щелей. Множитель I0 определяет интенсивность света, излучаемого в направлении  = 0, которая зависит от потока энергии, падающего на решетку света. Вид дифракционной картины показан на рис.7.13.

Рис. 7.13
Рис. 1.
Величина  dsin  равна разности хода между волнами, испускаемыми двумя эквивалентными точками соседних щелей.  Условие главных максимумов для дифракционной решетки определяется формулой

(7.55)

А условие (7.43) определяет положение минимумов огибающей.

Рис.7. 14
Дифракция на прямолинейном крае экрана. (рис.7.14) Ограничимся  случаем падения плоской волны. Основной интерес представляет распределение интенсивности вблизи края геометрической тени, т.е. d << l. Тогда из (7.31) получаем:

	(7.56)
где . Последнее выражение в (8.56) представляет собой параметрическое уравнение спирали Корню (клотоиды) (рис.7.15), позволяющей графически определить вид дифракционной картины от полубесконечного экрана. Функции, отложенные на рис. 7.15 по декартовым осям, называются интегралами Френеля:

 .		(7.57)

Разрешающая способность дифракционной решетки.  Для количественной оценки разрешающей способности дифракционных спектральных приборов служит критерий Рэлея: две спектральные линии являются разрешенными, если максимум дифракционной картины для одной длины волны совпадает с ближайшим минимумом для другой длины волны. Вспомним, что для интерферометра Фабри-Перо мы воспользовались близким следствием из критерия Рэлея – пересечением двух соседних максимумов в интерференционной картине на полувысоте. Часто пользуются еще одним следствием из критерия Рэлея – при равной интенсивности исследуемых симметричных максимумов глубина провала между “горбами” составляет 20% от максимума. Конечно, эти следствия, как, впрочем, и сам критерий Рэлея являются достаточно условными. Но они позволяют вполне объективно оценить границу разрешения данного спектрального прибора.
Найдем разрешающую способность дифракционной решетки исходя из критерия Рэлея. Между главными максимумами дифракционной картины располагаются N – 1 минимум, где N  – общее число щелей, участвующее в дифракции. Тогда критерий Рэлея запишется в виде:
			(7.58)

Тогда разрешающая способность дифракционной решетки  равна:
.					(7.59)

Переход от интерференции двух волн к многолучевой интерференции приводит к концентрации излучения вблизи определенных направлений и к увеличению темных промежутков между максимумами, т.е. к увеличению разрешающей способности.
Дисперсионная область дифракционной решетки ищется точно так же, как и для интерферометра Фабри-Перо, т.е. по формуле (6.42):

.					(7.60)

Метод зон Френеля. Зоны Френеля. Графическое вычисление амплитуды. Пятно Пуассона. Дифракция на прямолинейном крае полубесконечного экрана. Зонная пластинка как линза. Трудности метода зон Френеля.
Приближение Кирхгофа. Оптическое приближение. Формула дифракции Френеля-Кирхгофа. Вторичные источники. Приближение Френеля.
Дифракция Фраунгофера. Область дифракции Фраунгофера. Дифракция на прямоугольном отверстии, щели и круглом отверстии. Дифракционная решетка. Фазовые и амплитудно-фазовые решетки. Наклонное падение лучей на решетку. Качественное рассмотрение дифракции на непрерывных периодических и непрерывных непериодических структурах. Сравнение характеристик спектральных аппаратов.
Дифракция Френеля. Область дифракции Френеля. Дифракция на прямоугольном отверстии. Спираль Корню.

8. Основы голографии.
Голографией называют метод записи и последующего восстановления пространственной структуры световых волн, основанный на явлениях интерференции и дифракции когерентных пучков света. Как и фотография, она обеспечивает возможность записи, хранения и воспроизведения зрительных образов предметов. Фотопластинка, на которой записана эта информация, называется голограммой. Однако обычная фотография дает лишь плоское изображение объемной картины, видимое из определенной точки. В отличие от фотографии голография позволяет записать и восстановить не двухмерное распределение освещенности в плоскости снимка, а рассеянные предметом световые волны со всеми их характеристиками – направлением распространения, амплитудой, фазой, длиной волны. Восстановленные голограммой световые волны создают полную иллюзию реальности наблюдаемых предметов.
На голограмме регистрируется не оптическое изображение объекта, а интерференционная картина, возникающая при наложении световой волны, рассеянной объектом (предметной волны), и когерентной с ней опорной (или референтной) волны.
Идея голографии изначально была выдвинута в 1920 г. польским физиком М.Вольфке (1883 – 1947), но была забыта. В 1947 г. независимо идею голографии предложил, обосновал и продемонстрировал английский физик Дэннис Габор (Нобелевская премия, 1971 г.). Он же и предложил сам термин “голография” (“полная запись”). Для практической реализации голографии необходимы источники с высокой пространственной и временной когерентностью. Поэтому широкое распространение она получила только после создания лазеров, начиная с работ Лейта и Упатниекса (1962 г.) и Ю.Н. Денисюка (1962 г.), предложившего записывать голограммы на толстослойных фотоэмульсиях, что позволяет восстанавливать изображение в белом свете.
Рассмотрим двухлучевую схему голографии (рис.8.1).  Исследуемый объект освещают расширенным с помощью телескопа пучком света лазера. Рассеянная объектом световая волна, а также опорная, отраженная от зеркала, попадают на фотопластинку, на которой регистрируется возникающая интерференционная картина. Дальше пластинка проявляется обычным способом.  Получающуюся на голограмме упорядоченную интерференционную структуру можно рассмотреть только с помощью микроскопа

Рис.8.1. Схема записи тонкослойной голограммы
Для восстановления волны убирают исследуемый объект и помещают голограмму на то место, где находилась фотопластинка (рис.8.2). Освещая ее светом однотипного лазера, наблюдают через голограмму изображение объекта, которое получается там же, где находился объект. Наблюдатель видит “мнимое” изображение предмета как сквозь дымчатое стекло. Причем, т.к. в голограмме зафиксирована вся информация о предмете, то объект воспринимается объемно. Кроме “мнимого”, есть и “действительное изображение”, имеющее обратный рельеф наблюдаемой поверхности.
Пусть требуется зарегистрировать плоский волновой фронт с волновым вектором k1 , нормальным к оси X и направленным под углом  к оси Z (рис.2). Поместим в плоскость XOY фотопластинку. В этой плоскости распределение поля имеет вид:

(8.1)

Рис.8.2. Схема воспроизведения голограммы.
Если зафиксировать на фотопластинке соответствующую (8.1) интенсивность, то мы получим обычное фотографическое “изображение” плоской волны – пластинка будет равномерно засвечена. Сохранить же информацию о фазе волны позволяет добавление опорной волны. Пусть плоская опорная волна E2 направлена вдоль Z. Тогда распределение интенсивности на пластинке примет вид:

 		(8.2)

Видно, что распределение интенсивности представляет собой периодическую систему полос, параллельных оси X с пространственным периодом /sin. После проявки фотопластинки получается плоская дифракционная решетка с синусоидальным законом амплитудного пропускания (правда, если амплитудное пропускание линейно связано с освещенностью фотопластинки). Это и есть голограмма исходной плоской волны.  Освещение такой решетки плоской волной, тождественной опорной волне, приводит к появлению двух дифрагированных плоских волн по углами 1 к оси Z (т.е. дифракционных максимумов) (см. гл.7):

				(8.3)

Т.о., освещение тонкослойной голограммы только опорной волной приводит к появлению как предметной, так и паразитной волны, симметричной исходной. Ее возникновение связано с тем, что на обычной голограмме не фиксируется направление записываемой волны: голограмма не изменится, если эта волна распространяется в противоположном направлении. Рассматриваемые далее толстослойные голограммы этим недостатком не обладают.
Аналогично можно вместо плоской волны рассмотреть получение голограммы сферической волны. В этом случае при плоском опорном фронте мы получим голограмму в виде синусоидальной зонной пластинки, которая при облучении плоской волной дает изображение точки – источника сферической волны. Другими словами, зонная пластинка является голограммой точки. Разбивая произвольный объект на совокупность независимых точечных источников, для каждого из которых справедливы эти рассуждения, мы приходим к описанию голограммы произвольного поля через наложение множества зонных пластинок Френеля.
Отметим, что каждый участок  голограммы способен восстановить изображение всего объекта, но качество изображения при уменьшении площади голограммы ухудшается.
До сих пор мы рассматривали способ записи и воспроизведения так называемых тонкослойных голограмм. В 1962 г. советский ученый Ю.Н. Денисюк осуществил метод записи и воспроизведения голограммы в трехмерной среде. В этом методе используются толстослойные (порядка нескольких десятков микрометров) фотопластинки. Схема записи такой голограммы при встречных пучках (опорной и предметной волны) за счет образования в толще фотоэмульсии стоячей волны показана на рис.8.3. После экспозиции при облучении монохроматическим светом в результате дальнейшей химической обработки в фотоэмульсии получается трехмерная дифракционная решетка с полупрозрачными отражающими слоями серебра (так называемыми слоями Липпмана). Если затем полученную голограмму осветить опорной волной, то частично отраженные от слоев Липпмана когерентные световые волны, интерферируя, дадут изображение предмета в исходном положении. Интерференционное усиление происходит в том случае, когда отраженные от слоев волны синфазны, т.е. удовлетворяют так называемому условию Вульфа-Брэгга:

Рис.8.3. Схема записи объемных голограмм.
,					(8.4)

где d – расстояние между слоями Липпмана,  – угол скольжения отраженной брэгговской волны,  m – целые числа.
Выполнение этого условия приводит к избирательности голограммы по отношению к длине восстанавливающей опорной волны. Т.к. трехмерная решетка пропустит (точнее, отразит) излучение только той длины волны монохроматического света, под действием которого она записывалась (то же самое можно отметить и о направлении ), то можно восстанавливать изображение, используя источник сплошного спектра. Если исходные опорная и предметная волны содержали несколько длин волн, то с фотоэмульсии возникнет несколько пространственных решеток. При освещении таким образом записанной голограммы источником сплошного света (например, солнечного или от лампы накаливания) можно получить объемное цветное изображение. 
Основные области применения голографии:
1.	Запись и хранение информации, в т.ч. и визуальной (оптическая голографическая память). На голографическую пластинку размером 3232 мм2 можно записать 1024 голограммы, каждая по 1 мм2 и содержит, например, одну страницу текста. В толстослойной голограмме можно производить независимую запись и аналогично восстановление, изменяя угол падения опорной волны. В зависимости от типа записывающей среды память может быть как постоянной, так и стираемой. В тонких оптических средах могут быть записаны примерно 108 бит/см2, а при использовании объемной голографии теоретически можно запомнить примерно до 1010 бит/см3.  Сюда же можно отнести и всевозможные художественные применения голографии (объемные изображения музейных предметов, голографическое кино, объемные портреты и т.д.) 
2.	Оптическая обработка информации и системы распознавания образов (распознавание знаков, языка, отпечатков пальцев, изображений). Сравнение объекта (например, корреляционным методом) ведется с записанными голограммами известных объектов. Корректировка и обработка изображений может быть проведена с помощью определенных голографических фильтров. 
3.	Голографическая интерферометрия. Этот метод позволяет исследовать изменения (например, деформацию), происшедшие в наблюдаемом объекте под каким-либо внешним воздействием. В основе регистрации таких малых деформаций лежит явление интерференции двух волн, существовавших в разные моменты времени и записанных на одну голограмму. По полученной полосатой интерференционной картине можно определить изменения до десятых долей микрометра. С помощью голографической интерферометрии возможно измерение всех видов деформации прозрачных и непрозрачных тел; очень малых перемещений; типов колебаний; распределений температуры; произвольных распределений неоднородностей. Этот метод на практике применяют для исследований частей машин; деталей кузова автомобилей; автомобильных шин и других легко деформируемых тел; оптических элементов; музыкальных инструментов; распределения неоднородностей в атмосфере и других средах; плазмы.

9. Распространение света в анизотропных средах.
Описание анизотропных сред. Тензор диэлектрической проницаемости.
Распространение плоской электромагнитной волны в анизотропной среде. Зависимость лучевой скорости от направления. Эллипсоид лучевых скоростей. Плоскости поляризации составляющих луч волн. Анализ хода лучей с помощью эллипсоида лучевых скоростей. Оптическая ось. Двуосные и одноосные кристаллы.
Двойное лучепреломление. Обыкновенный и необыкновенный лучи. Построение Гюйгенса для различных случаев преломления лучей на поверхности кристалла. Поляризация при двойном лучепреломлении. Поляроиды. Поляризационные и двоякопреломляющие призмы. Полихроизм.
Интерференция поляризованных волн при прохождении через кристаллы. Пластинка в четверть, половину и целую волну. Анализ состояния поляризации света. 
Вращение плоскости поляризации в кристаллических и аморфных веществах. Элементарная феноменологическая теория вращения плоскости поляризации. Вращение плоскости поляризации в магнитном поле.
Искусственная анизотропия, создаваемая деформациями, электрическим и магнитным полем (качественное описание).
Описание анизотропных сред. 	Оптической анизотропией называется зависимость оптических свойств среды от направления распространения света в ней. Физическая природа анизотропии вещества связана с особенностями строения его молекул или особенностями кристаллической решетки, в узлах которой находятся атомы или ионы. Взаимодействие света с веществом для анизотропных сред не может быть моделировано колебаниями одного осциллятора. Для описания таких сред необходимо ввести три различных взаимно перпендикулярных осциллятора и характеризовать три взаимно перпендикулярных направления различными значениями показателя преломления. Однако изучение распространения света в анизотропных средах мы будем строить не на учете атомной структуры среды, а с помощью феноменологической электромагнитной теории. В рамках этой теории анизотропия учитывается тем, что в материальном уравнении диэлектрическая восприимчивость () представляет собой тензор, а не скаляр, как для изотропной среды. Анизотропию магнитных свойств сред мы рассматривать не будем, т.к., во-первых, принцип описания будет точно таким же, и , во-вторых, магнитная анизотропия используется значительно реже. 
В анизотропной среде проекции поляризованности связаны с проекциями напряженности электрического поля соотношениями:

			(9.1)

В дальнейшем для простоты будем нумеровать декартовы оси координат и соответствующие им проекции числами или индексами 1, 2, 3. Матрица величин ij называется тензором диэлектрической восприимчивости. Тогда систему (9.1) можно записать в компактном виде:

			(9.2)

Соотношение между компонентами вектора электрического смещения D и поляризованностью P для анизотропной среды принимает вид:
 	(9.3)

где ij – символ Кронекера. Тензор ij :

					(9.4)

называется тензором диэлектрической проницаемости.
Рассмотрим основные его свойства. Запишем выражение для плотности электрической энергии w с учетом (9.3):

		(9.5)

Изменим порядок индексов в (9.5):

					(9.6)

Вычитая почленно (9.6) из (9.5), получим:
 				(9.7)

Отсюда следует, что т.к. проекции поля E независимы, то тензор диэлектрической проницаемости является симметричным:

					(9.8)
Воспользуемся математическими свойствами полученных выражений. Т.к. плотность электрической энергии положительна, то стоящая в правой части (9.5) квадратичная форма является положительно определенной.

	Замечание.
	Формой степени n (или однородным многочленом) называется многочлен от нескольких переменных, каждый член которого имеет степень n относительно совокупности всех переменных.
	Действительную квадратичную форму f(x1, x2, ... xn=aijxixj  называют положительно определенной, если f > 0 для любого набора значений переменных x1, x2, ..., xn , среди которых есть хотя бы одно, отличное от нуля.

Перейдя к новым переменным:

						(9.9)

выражение (9.5) можно записать в виде:

					(9.10)

Как известно из математики, с помощью преобразования системы координат такая форма может быть приведена к виду:
				(9.11)
Полученные таким образом оси X, Y, Z новой системы координат называют главными осями тензора диэлектрической проницаемости (в дальнейшем мы их так и будем обозначать большими буквами). В главной системе координат  тензор диэлектрической проницаемости является диагональным:

					(9.12)

Уравнение (9.11) описывает эллипсоид с полуосями, расположенными вдоль главных осей тензора и равными x-1/2, y-1/2, z-1/2. В главных осях соотношение (9.3) примет вид:

						(9.13)

Т.к. в общем случае элементы тензора диэлектрической проницаемости неодинаковы, то в анизотропной среде векторы D и E не коллинеарны. 
Распространение плоской электромагнитной волны в анизотропной среде. Подставляя векторы E, D, H, B в плоской ЭМВ в виде

				(9.14)

в уравнения Максвелла (2.1) — (2.6), получим следующие соотношения между векторами полей и волновым вектором k :
					(9.15)
Волновой вектор k показывает направление распространение волнового фронта, т.е. фазовая скорость v направлена вдоль волнового вектора. Введем единичный вектор направления распространения волны n:

						(9.16)

Поток энергии, по определению, распространяется по направлению вектора Пойнтинга S = EH . Направление потока энергии в волне называется лучом. Т.к. энергия ЭМВ распространяется с групповой скоростью, то групповая скорость u направлена вдоль луча. Введем единичный вектор в направлении распространения луча:

						(9.17)
Т.к. а анизотропной среде векторы E и D не коллинеарны, то направления распространения волны и луча не совпадают. Соответственно не совпадают по направлению групповая и фазовая скорость. Ориентация между векторами в ЭМВ изображена на рис. 9.1. Вектора D, E, n,   лежат в одной плоскости, перпендикулярной H. Из  (9.15)- (9.17) следует: n  D;   E . Угол между D и E равен углу между n и .
Вектор E , оставаясь перпендикулярным H, не перпендикулярен направлению распространения фазы волны. В этом смысле волна в кристалле не является строго поперечной, т.к. имеется отличная от нуля проекция вектора E на направление n и соответственно проекция D на направление . Лишь при ориентации  вдоль одной из главных осей кристалла вектор D коллинеарен вектору E.

Рис. 9.1
Плоскость равных фаз перемещается вдоль вектора n со скоростью v. Скорость перемещения этой плоскости вдоль вектора луча  называется лучевой скоростью.
Особенности распространения лучей в анизотропной среде обусловлены как дисперсией волн, так и отличием направлений волновых нормалей и лучей. Дисперсия в равной мере присуща как изотропным, так и анизотропным средам. Но чтобы выделить особенности именно анизотропии, в дальнейшем будем пренебрегать дисперсией. В такой недиспергирующей анизотропной среде понятия лучевой скорости и групповой скорости совпадают.
Получим выражение для зависимости фазовой скорости от направления распространения волны и плоскости поляризации. Воспользуемся первыми двумя уравнениями в (9.15) и формулой разложения двойного векторного произведения. Тогда получаем уравнение:

  		(9.18)

где v = /k – фазовая скорость. В главной системе координат с учетом (9.13) (9.18) в скалярном виде преобразуется в систему трех уравнений:

			(9.19)
Здесь ni  – направляющие косинусы направления волны относительно соответствующей главной оси.
Пусть E направлен, например,  вдоль главной оси X. Тогда с учетом (9.13) система (9.19) сводится к одному уравнению

				(9.20)

При ненулевом поле E получаем:

					(9.21)

Аналогичные рассмотрения случаев, когда E (и соответственно D) направлено или вдоль Y или вдоль Z, позволяют найти остальные значения vi :
				(9.22)
Полученные скорости vi называются главными скоростями распространения волны.

Необходимо отметить, что:
1.	vi – это не проекции вектора фазовой скорости на соответствующую главную ось, а фазовые скорости волны, у которой векторы E и D коллинеарны соответствующей главной оси;
2.	Главные лучевые (групповые) скорости совпадают с главными фазовыми скоростями.
Перепишем (9.19) с учетом (9.22):

			      (9.23)

Умножим обе части на ni/(1–v2/vi2) и суммируем по i. Учтем, что niEi = nE и ni2 = 1. После приведения к общему знаменателю и деления на v20 получим уравнение

						(9.24)

Рис. 9.2
которое называется уравнением Френеля. Оно позволяет найти фазовую скорость в направлении с направляющими косинусами ni.
Для нахождения корней этого уравнения построим график функции (рис.9.2)

	(9.25)

Из рисунка видно, что существует только два вещественных решения уравнения Френеля (v’ и v’’), т.е. в заданном направлении могут распространяться волны с двумя различными фазовыми скоростями v’ и v’’, заключенными между наименьшей и средней, средней и наибольшей из главных скоростей (на рис.9.2 главные скорости обозначены пунктиром).
Найдем состояния поляризации в этих двух волнах. Пусть D/  и D// – векторы электрического смещения в них. Умножим (9.18) для  D/ и E/  скалярно на D//  и вычтем из него почленно это же соотношение для D// и E//, умноженное скалярно на D/. Тогда получим:

			(9.26)
Учтем, что 
			(9.27)

Тогда, чтобы выполнялось равенство (9.26) при отличающихся значениях v’ и v’’, необходимо выполнение соотношения:

					(9.28)

Это означает, что векторы D  двух волн с двумя различными скоростями v’ и v’’, которые могут распространяться в данном направлении, взаимно перпендикулярны.
Ход лучей в анизотропной среде.  Исходя из определения, лучевая (групповая) скорость  u  и фазовая скорость v в анизотропной среде связаны соотношением:
				(9.29)

Аналогично (9.24) можно вывести (вывести самостоятельно!) уравнение Френеля для лучевых скоростей:

					(9.30)

Так же как и для случая фазовых скоростей, две волны (луча), распространяющихся в данном направлении с двумя лучевыми скоростями, имеют взаимно перпендикулярные направления поляризации.
Обычно для решения одних задач по анизотропным средам удобнее работать с фазовыми скоростями, для других с лучевыми скоростями.  Произведя замену в (9.11)  ,  получим уравнение:

					(9.31)
где vx, vy, vz – главные лучевые скорости. Эллипсоид, точки поверхности которого удовлетворяют уравнению (9.31), называется эллипсоидом лучевых скоростей (рис.9.3) (координаты имеют размерность скоростей). 

Рис. 9.3
Проанализируем ход лучей с помощью эллипсоида лучевых скоростей. Направление луча задается единичным вектором . Через центр эллипсоида проведем плоскость, перпендикулярную . В сечении эллипсоида этой плоскостью образуется эллипс с главными полуосями v1, v2 . Вектор E световой волны, распространяющейся по лучу, может колебаться только параллельно главным осям этого эллипса. Соответствующие лучевые скорости равны длинам его главных полуосей. В направлении, перпендикулярном плоскости кругового сечения, всем лучам соответствует одна и та же скорость, поляризация может быть любой. Направление, перпендикулярное круговому сечению, называется оптической осью анизотропной среды (кристалла). Для лучей, идущих вдоль оптической оси среда ведет себя как изотропная.
Эллипсоид с тремя различными полуосями (главными скоростями) имеет два круговых сечения и, отсюда, две оптические оси.  Такие кристаллы называются двуосными.  Если у эллипсоида лучевых скоростей любые две главные скорости совпадаю по величине, то это эллипсоид вращения. Он имеет лишь одно круговое сечение (и одну оптическую ось, совпадающую с осью симметрии). Такие кристаллы называются одноосными.  В случае совпадения всех трех главных скоростей мы имеем изотропную среду.
Лучи в анизотропной среде можно рассматривать и без эллипсоида лучевых скоростей непосредственно с помощью уравнения Френеля (9.30). Введем новые переменные:

  			(9.32)

В этих переменных уравнение (9.30) принимает вид:

					(9.33)

Это уравнение описывает поверхность четвертого порядка, называемое лучевой поверхностью. Расстояние r от начала координат до соответствующей точки поверхности пропорциональна лучевой скорости в этом направлении  . В каждом направлении лучевая поверхность встречается два раза, что соответствует наличию двух скоростей распространения света в данном направлении.
Двулучепреломление.  	Плоскость, проходящая через луч, направленный под углом к оптической оси и оптическую ось, называется главной. Из этого определения и определения главной оси следует, что у луча, вектор E0 которого направлен перпендикулярно главной плоскости, скорость не зависит от направления и равна лучевой скорости, направленной коллинеарно оптической оси. Такой луч называется обыкновенным. Соответствующие ему параметры (скорость, показатель преломления) обозначаются индексом “о”. У луча, вектор Eе которого лежит в главной плоскости, скорость зависит от направления, т.к. соответствующая полуось эллипса  в сечении эллипсоида изменяется с изменением направления луча. Такой луч называется необыкновенным. Соответствующие ему параметры (скорость, показатель преломления) обозначаются индексом “е”. Т.е. показатель преломления необыкновенного луча – величина переменная, зависящая от направления луча. Значение ne, приводящееся для данного кристалла в справочной литературе – это максимально отличающееся от “обыкновенного” показателя преломления no значение. 

10. Генерация света.
Обычные генераторы света – разогретые тела. Все тела излучают, поглощают и отражают электромагнитные волны. 
В вакууме полная объемная плотность излучения определяется следующим образом:
.				(10.1)

Спектральная плотность излучения 

.					(10.2)

Тогда
.					(10.3)

Пусть некоторый объем с телами окружен адиабатической оболочкой. В конце концов между этими телами и излучением в полости установится термодинамическое равновесие. Температура всех тел – постоянная, излучение имеет равновесную спектральную плотность.
1-й закон Кирхгофа.
Равновесная спектральная плотность w зависит только от температуры T и не зависит от свойств тел в полости и свойств самой полости:
.				(10.4)
Поглощательной способностью  A называется отношение энергии, поглощаемой участком поверхности тела за 1 с в интервале частот  ко всей энергии излучения, падающей за 1 с в том же интервале частот на этот участок. Падающее излучение – изотропно.
2-й закон Кирхгофа.
В состоянии равновесия поглощаемая за 1 с участком поверхности энергия излучения должна быть равна энергии, излучаемой за 1 с тем же участком:
,					(10.5)
где M – спектральная плотность энергетической светимости.
Коэффициент с/4 получается после интегрирования по телесному углу.
Абсолютно черным телом называется тело, полностью поглощающее всё падающее на него излучение, т.е.  и

Рис.10.1.
.			(10.6)
Задача нахождения w(T) сводится к определению закона излучения абсолютно черного тела (АЧТ). Модель АЧТ (рис.10.1). Излучение из отверстия с хорошей точностью можно рассматривать как излучение АЧТ.
Классическая физика не может объяснить экспериментально измеренную величину w(T), за исключением предельных случаем (формула Рэлея-Джинса (малые частоты), формула Вина (большие частоты)). Общая формула была получена Планком и положила начало квантовой теории.
Концентрация мод колебаний.	Пусть задана кубическая полость с ребром длиной L. Условием образования в ней стоячих волн является следующее (без учета каких бы то ни было скачков фаз при отражении):
				(10.7)
или
					(10.8)
где – целые числа.
Количество волн dN для волновых чисел в интервале  равно числу целых чисел в интервале . Отсюда следует, что

.			(10.9)

В сферической системе координат:

.				(10.10)

Концентрация стоячих волн равна:
					(10.11)
или с учетом двух независимых поляризаций:

  – 				(10.12)

 – концентрация стоячих волн (мод, колебаний, степеней свободы).
При средней энергии <>, приходящейся на одну степень свободы плотность энергии стоячих волн равна:

 ,				(10.13)

поэтому нахождение равновесной спектральной плотности сводится к определению средней энергии в моде.
Для гармонического осциллятора , где k – постоянная Больцмана. Тогда
 – формула Рэлея-Джинса.			(10.14)
При малых частотах формула Рэлея-Джинса хорошо согласуется с экспериментом. При  спектральная плотность w. Такая расходимость спектральной плотности энергии (как, впрочем, и полной объемной плотности энергии) называется ультрафиолетовой катастрофой.
В.Вин предположил, что не все моды возбуждены, а их относительное число подчиняется распределению Больцмана:

.					(10.15)

Тогда 			.				(10.16)
Вин заключил, что энергия моды . Гораздо позже был найден коэффициент пропорциональности – постоянная Планка:

.					(10.17)

Тогда
.	Формула Вина.	(10.18)

Формула Вина хорошо работает при достаточно высоких частотах.
В 1900 г. М.Планк получил формулу, интерпретирующие вышеуказанные закономерности:
	Формула Планка.	(10.19)
Эта формула полностью описывает излучение АЧТ и в предельных переходах формулы Рэлея–Джинса и Вина хорошо с ней согласуются (рис.10.2).
Найдем полную объемную плотность излучения:

(10.20)

Рис.10.2
Или для энергетической светимости АЧТ:

	Закон Стефана – Больцмана.		(10.21)
 – постоянная Стефана – Больцмана.	(10.22)

Найдем максимум спектральной плотности излучения в единицах длин волн :
.				(10.23)

Максимум получаем из условия . Получаем:

  Закон смещения Вина.		(10.24)

При Т  6000 К  длина волны максимума излучения max  0,55 мкм.
Элементы квантовой теории.	Формула Планка не может быть получена в рамках классической теории. Ее строгий вывод можно провести только с точки зрения квантовой теории. Ниже будет продемонстрирован вывод формулы Планка на основе элементарных квантовых представлений об излучении и поглощении света. Этот вывод был предложен Эйнштейном в 1916 г. 
Пусть оболочка полости тела и излучение в этой полости находятся в термодинамическом равновесии. Предположив, что энергия может излучаться и поглощаться определенными дискретными порциями (квантами), мы должны ввести существование дискретных уровней энергии атома Е2 и Е1, при переходе между которыми и происходит поглощение и испускание света. Рассмотрим атомные переходы с частотой перехода  (или ) между двумя уровнями (индекс 2 – верхний уровень, 1 – нижний):

					(10.25)
В данных процессах можно говорить лишь о вероятности переходов атомов в возбужденное состояние и обратно. В условиях динамического равновесия обмен квантами между уровнями должен быть уравновешен для каждой моды  (частоты) в отдельности (принцип детального равновесия).

Рис.10.3
В рассматриваемой системе возможны два типа переходов между уровнями (рис.10.3): 
1. 	Спонтанные переходы.
2. 	Вынужденные (индуцированные) переходы.
Спонтанные переходы происходят независимо от падающего на атом излучения и только сверху вниз. Скорость уменьшения числа атомов на верхнем уровне  при этом определяется произведением вероятности этого процесса и числа атомов N2 на верхнем уровне:

.		(10.26)

Коэффициент А21 называется коэффициентом Эйнштейна для спонтанных переходов. Он обратно пропорционален времени жизни атома на этом энергетическом уровне. Спонтанное излучение некогерентно.
Вынужденные переходы (как сверху вниз – вынужденное излучение, так и наоборот – вынужденное поглощение) могут происходить только с поглощением кванта энергии, т.е. под влиянием внешнего (индуцирующего) излучения. Скорости изменения количества атомов на соответствующих уровнях при вынужденных переходах определяются через спектральную плотность индуцирующего излучения:

				(10.27)

Коэффициенты В21 и В12 называются коэффициентами Эйнштейна для вынужденного излучения и вынужденного поглощения соответственно.
При вынужденном излучении все характеристики индуцированного и индуцирующего квантов одинаковы (направление, частота, фаза, поляризация), поэтому вынужденные переходы приводят к когерентному излучению системы.
Согласно принципу детального равновесия:

.				(10.28)

Число атомов на уровнях определяется распределением Больцмана:

.		(10.29)

Подставляя выражения (10.26), (10.27) и (10.29) в (10.28), получаем для спектральной плотности энергии:
.			(10.30)

Но при стремлении температуры плотность энергии . Это возможно лишь при . Поэтому

.			(10.31)

Отношение коэффициентов Эйнштейна А21/В21 может быть получено только в рамках строгой квантовой теории излучения. Но мы поступим проще. При малых частотах выражение (10.31) должно переходить в формулу Рэлея–Джинса (10.14). Сравнивая эти соотношения, получим:

.						(10.32)

Подставляя (10.32) в (10.31), получаем окончательно формулу Планка (10.19):
					(10.19)

Инверсия населенностей. В условиях термодинамического равновесия в соответствии и распределением Больцмана концентрация частиц на верхнем уровне всегда меньше, чем на нижнем. Поэтому интенсивность излучения в этом случае уменьшается по мере проникновения вглубь среды согласно закону Бугера. Если же в среде каким-то образом выполнено условие  (т.е. создана инверсия населенностей), то интенсивность волны нарастает по мере ее распространения, т.к. при этом переходы с вынужденным излучением происходят чаще, чем поглощательные переходы. При тождественности индуцирующих и индуцированных квантов когерентные свойства светового пучка сохраняются. В этом заключается принцип квантового усилителя. Среда с инверсией населенностей называется активной средой. При создании инверсия населенностей система “активная среда – поле излучения” становится термодинамически неравновесной.  
Принцип работы лазера (оптического квантового генератора) основан на трех фундаментальных идеях. Первая идея связана с использованием вынужденного испускания света атомными системами. Вторая идея заключается в применении сред с инверсией населенностей, т.е. термодинамически неравновесных систем. Третья идея заключается в использовании в лазере положительной обратной связи для превращения усиливающей системы в генерирующую. В качестве положительной обратной связи (лазерного резонатора) обычно используют систему типа интерферометра Фабри–Перо.

11. Фотоэффект и его применения.
Квантовая механика определила дискретность уровней энергии осциллятора. Предельным значением этой энергии является распад осциллятора (ионизация атома), попадание электрона в зону проводимости (внутри металла) и далее. Одним из первых приложений квантовой теории было истолкование законов фотоэффекта.
С конца XIX века физиками разных стран было проведено много экспериментов по влиянию света на электрические явления. В 1888 г. Герц обнаружил, что электрический разряд между двумя проводниками происходит значительно сильнее, когда электроды освещаются ультрафиолетовым светом. Физик Гальвакс указал, что это явление  обусловлено ионизацией окружающего электроды газа зарядами, вырванными под действием света. В этом же году итальянский физик Аугусто Риги сделал новое открытие: проводящая пластина, освещенная пучком ультрафиолетовых лучей, заряжается положительно. Он же и ввел сам термин “фотоэлектрический эффект”, но не смог правильно объяснить это явление. Позднее А.Г.Столетов систематизировал все эти явления на основе опыта, схема которого приведена на рис.11.1. В исследовании изучалось прохождение тока через конденсатор из двух цинковых пластин при освещении одной из них (катода) светом ртутной лампы. В 1898 г. физики Леннард и Томсон отклонения зарядов в электрическом и магнитном полях  определили удельный заряд заряженных частиц, вырываемых светом из катода, совпадающий с известным зарядом электрона e/m. Отсюда следовало, что под действием света происходит вырывание электронов из вещества катода – фотоэлектрический эффект (внешний) (или просто – фотоэффект).
Законы фотоэффекта.
1. 	При неизменном спектральном составе света сила фототока насыщения прямо пропорциональна падающему на катод световому потоку.
2. 	Начальная кинетическая энергия вырванных светом электронов линейно растет с ростом частоты света и не зависит от его интенсивности.
3. 	Фотоэффект не возникает, если частота света меньше некоторой характерной для каждого металла величины к , называемой красной границей  фотоэффекта.

Рис. 11.1
Характерная  кривая (вольт-амперная характеристика) для опыта Столетова показана на рис.11.2. В зависимости от условий опыта она может несколько отклоняться от идеализированной кривой 1, но основные характеристики (ток насыщения и задерживающий потенциал) будут одинаковыми, что и иллюстрирует реальная кривая 2 (когда часть вылетевших из катода электронов теряется на пути к аноду).
Первый закон фотоэффекта можно объяснить и на основе классической физики. Световое поле, воздействуя на электроны металла, возбуждает их колебания. Амплитуда этих колебаний может достигать значения, при котором электроны покидают металл – наблюдается фотоэффект. Т.к. интенсивность света прямо пропорциональна квадрату электрического поля, то число вырванных электронов растет с увеличением интенсивности света.
Второй и третий закон фотоэффекта на основе классической физики объяснить нельзя. Явление фотоэффекта и все его закономерности хорошо объясняются с помощью квантовой теории света и подтверждают ее.

Рис. 11.2
Как уже отмечалось, Эйнштейн в 1905 г., развивая квантовую теорию Планка, выдвинул идею, излучение , поглощение и распространение света происходит порциями (квантами), энергия которых равна. В этом случае можно записать закон сохранения энергии для элементарного процесса, заключающегося во взаимодействии одного кванта с веществом, сводящегося к передаче электрону дискретного количества энергии. При этом нужно учесть, что электрон в металле не является свободным и, чтобы покинуть металл, электрон должен преодолеть работу выхода A. Применяя к фотоэффекту в металлах закон сохранения энергии, Эйнштейн предложил следующую формулу:

,			(11.1)

где A – работа выхода электрона из металла, v – скорость фотоэлектрона. При этом считается, что каждый квант выбивает только один электрон (однофотонный процесс).
Как следует из (11.1), фотоэффект в металлах может возникать только при , в противном случае энергии кванта недостаточно для вырывания электрона из металла. Отсюда можно найти минимальную частоту света, при которой происходит фотоэффект (красную границу фотоэффекта):
.				(11.2)
(Для различных металлов красная граница в длинах волн имеет следующие значения: Zn   ~370 нм; Na   ~500 нм; Cs  ~650 нм.)
Пусть между анодом и катодом (рис.11.1) приложен тормозящий потенциал (U < 0) (рис.11.2). Если кинетическая энергия электронов достаточна, то они, преодолев тормозящее поле, все таки создают фототок. В фототоке участвуют те электроны, для которых удовлетворяется условие
 .					(11.3)

Величина задерживающего потенциала Uзад определяется из условия:

,					(11.4)

где vmax – максимальная скорость выбитых электронов. Подставив (11.4) в (11.1), получаем:

,					(11.5)
откуда

Рис. 11.4
.					(11.6)

Рис. 11.3
Т.о., величина задерживающего потенциала не зависит от интенсивности, а зависит только от частоты падающего света, что и объясняет второй закон фотоэффекта.
В отличие от металлов в полупроводниках и диэлектриках также возникает так называемый внутренний фотоэффект, состоящий в возбуждении электронов из валентной зоны в зону проводимости. Для внутреннего фотоэффекта энергия поглощенного светового кванта не должна быть меньше ширины запрещенной зоны (разности энергии между нижней границы зоны проводимости и верхней границей валентной зоны).
Применения фотоэффекта.
Фотоэффект очень широко используется в физических приборах. В частности, большое количество фотоприемников основано именно на нем. Самый простой пример – фотоэлемент. Именно с ним и имел дело в опытах по фотоэффекту Столетов. Чувствительность такого прибора можно резко увеличить в фотоумножителях (ФЭУ) (рис.11.3) (коэффициент усиления – до 106).
Другой пример применения фотоэффекта – электронно-оптические преобразователи (ЭОПы) (рис.11.4), предназначенные для преобразования невидимого излучения (в основном инфракрасного, хотя есть и ЭОПы для ультрафиолетового диапазона), который способен также выполнять функцию усилителя света.
Примеры приборов, использующих внутренний фотоэффект – фотодиоды, солнечные  батареи.

12. Оптика движущихся сред.
Вопрос о закономерностях оптических явлений в случае движущихся сред возник в рамках механической волновой теории задолго до создания электромагнитной теории света. Световые волны рассматривались аналогично механическим упругим волнам, поэтому для описания их свойств Гюйгенсом было введено понятие эфира как среды, заполняющее все мировое пространство, в которой распространяются световые волны. Движение тел относительно эфира можно было бы рассматривать как некоторое движение в абсолютной неподвижной системе отсчета. По мере развития механической волновой теории эфир приходилось наделять все более экзотическими характеристиками. Возникшая затем электромагнитная волновая теория Максвелла понятие эфира оставила, превратив его из экзотической материальной среды в условно-абстрактную среду, выполняющую лишь роль системы отсчета, в которой справедливы уравнения Максвелла. Но проблема существования эфира и задача обнаружения этой абсолютной системы отсчета остались актуальными.
Запись законов электродинамики в движущихся средах поставила две основных проблемы, связанных с вопросом перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой:
1) 	как в неподвижной системе отсчета (эфире) выглядят уравнения, описывающие электромагнитные явления, протекающие в движущихся средах;
2) 	как выглядят уравнения в системе отсчета, движущейся относительно эфира.
При построении теории распространения электромагнитных волн в эфире физики XIX века исходили из двух противоположных точек зрения:
1) 	эфир полностью увлекается движущимися телами (Герц);
2) 	эфир неподвижен при движении в нем тел (Лоренц).
Только опыт мог определить, какая из этих точек зрения справедлива. Рассмотрим два основных опыта, проведенные в поисках эфира.
Опыт Физо (1851 г.) опроверг точку зрения Герца о полном увлечении эфира. 
Опыт проводился с использованием интерферометрической схемы и сосудом с движущейся водой (рис.12.1). Свет внутри трубок с водой распространяется как по течению воды, так и против течения, v – скорость течения воды, l – длина слоя воды в одном направлении, c’=c/n. Ожидаемый относительный сдвиг интерференционных полос на выходе интерферометра должен быть равен отношению t – времени запаздывания одной волны по отношению к другой – к общему периоду колебаний:

,	(12.1)

где  = v/c. 

Рис. 12.1
В экспериментах Физо действительно наблюдался сдвиг интерференционных полос при переходе от измерений в неподвижной воде к движущейся, но  результат получался все время примерно в два раза меньше, т.е. вода при своем движении частично увлекала эфир. Наиболее точные более поздние измерения в модифицированном опыте Физо дали значение 

,	(12.2)

где коэффициент , названный коэффициентом увлечения, находился в хорошем соответствии с интуитивно предсказанным ранее Френелем значением:
.			(12.3)

Строго это соотношение можно объяснить только с точки зрения специальной теории относительности Эйнштейна.
Опыт Майкельсона (1881 г.) был поставлен и неоднократно повторен в целях доказательства второй точки зрения, т.е. в поисках так называемого “эфирного ветра”. Пусть интерферометр Майкельсона (см. гл.6) ориентирован так, что одно (1-е) из его одинаковых плеч параллельно направлению скорости орбитального движения Земли, другое (2-е) – перпендикулярно ему. Тогда промежутки времени t1 и  t2 , которые затрачивает свет для прохождения туда и обратно вдоль плеч оказываются различными:
  			(12.4)
Если повернуть прибор на 90о, то разность этих времен изменит знак и наблюдаемые интерференционные полосы должны сместиться. Смещение полос определяется формулой:
.							(12.5)
Но ни самим Майкельсоном ни в более поздних усовершенствованных опытах (в том числе и с использованием лазеров (Таунс, Джаван (1964 г.))) смещения полос обнаружить не удалось. 
Постулаты Эйнштейна.
Отрицательный результат опыта Майкельсона можно было бы объяснить, предположив полное увлечение эфира, но это противоречит опыту Физо. Результаты всех опытов обнаружили противоречия в самом понятии эфира и привели в конце концов  к принципу относительности, обобщенному Эйнштейном. Свою систему взглядов он обобщил в двух постулатах:
1.	Никакими физическими опытами (механическими, оптическими, электрическими и др. способами) нельзя установить, какая из двух инерциальных систем покоится, а какая движется (принцип относительности).
2.	Существует конечная максимальная скорость распространения любого взаимодействия, которая равна с – скорости света в вакууме. По принципу относительности эта скорость постоянна в любой инерциальной системе отсчета  
Первый постулат говорит о бесполезности поиска абсолютной системы отсчета, т.е. эфира. Второй постулат отвергает закон классического механического векторного сложения скоростей в экспериментах типа опыта Майкельсона. Сразу отметим, что специальная теория относительности, базирующаяся на этих постулатах, касается только инерциальных систем отсчета.
Анализ операций измерения промежутков времени и расстояний, проведенный в рамках постулатов, привел к необходимости отказаться от представлений классической физики об абсолютном характере таких понятий, как одновременность событий, промежуток времени между событиями, расстояние между точками в пространстве.

Рис. 12.2
Второй постулат требует уточнения понятия одновременности событий в двух различных инерциальных системах отсчета. Эйнштейн показал, что  вследствие этого постулата местное время, введенное в одной инерциальной системе координат, будет отличаться от местного времени во второй инерциальной системе координат. Т.е. очевидное в классической физике соотношение  в общем случае не верно. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (рис.12.2), которые в начальный момент времени совпадали, а потом раздвинулись на отрезок vt в направлении X. Если в момент времени  в центре 0 = 0’ возникла сферическая волна, распространяющаяся со скоростью с в вакууме, то через время t будут наблюдаться две сферические волны, что противоречит второму постулату (и опыту!). Волна всегда единственная и сферическая. Для этого должны соблюдаться соотношения:

			(12.6)

Величина  называется интервалом и играет исключительно важную роль в специальной теории относительности. Из (12.6) следует, что при учете однородности и изотропности пространства интервал инвариантен при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

.			(12.7)
Т.о., одним из важнейших следствий постулатов Эйнштейна является то, что пространство и время связаны между собой, образуя четырехмерное пространство–время.
Вернемся к вопросу преобразования координат в одномерной задаче рис.12.2. Для координат y и z преобразование наиболее простое, т.к. относительное движение вдоль осей OY и OZ не происходит:

.					(12.8)

В самом общем случае величины t, t’, x, x’ могут быть связаны соотношениями:
.				(12.9)
Подставляя (12.9) в (12.7):

.			(12.10)

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимых переменных , получаем систему алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов в (12.9). Ее решение дает:

.			(12.11)

Кроме того, из условий движения штрихованной системы координат относительно нештрихованной имеем:

.						(12.11’)

Подставляя (12.11) в (12.9), получаем окончательную форму преобразований Лоренца:

			(12.12)

Из анализа преобразований Лоренца следуют выводы:
1. 	Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца.
2. 	При v << c преобразования Лоренца переходят в классические преобразования Галилея.
3. 	При  преобразования Лоренца теряют смысл. Следовательно скорость света в вакууме является предельной скоростью любого переноса энергии, в т.ч. и света. Это ограничение касается лишь групповой скорости света, связанной с переносом энергии.
Из преобразований Лоренца следуют эффект замедления времени:

						(12.13)

и эффект сокращения длины:
.					(12.14)
Длительность процесса, измеренного в системе, относительно которой объект движется, больше, чем в той, относительно которой он покоится.  А наибольше значение длина l0 имеет в системе, в которой тело покоится (собственная длина).
Релятивистские эффекты сокращения длины и замедления времени означают лишь, что измеряемый промежуток времени и измеряемая длина зависят от относительного движения. Теория относительности предсказывает влияние движения наблюдателя на результаты измерения.
Рассмотрим с точки зрения преобразований Лоренца интерпретацию опыта Физо. Из преобразований Лоренца  имеем:
.				(12.15)
Тогда для измеряемой на опыте скорости света относительно установки (в лабораторной системе координат) имеем:

.				(12.16)

Здесь учтено, что  – скорость света относительно воды, v – скорость воды в лабораторной системе координат. В опыте Физо учитывался только эффект первого порядка относительно . Тогда

.			(12.17)

Это соотношение полностью согласуется с экспериментальными результатами Физо. Видно, что отмеченное в этом опыте френелевское “частичное увлечение эфира” можно рассматривать как простое следствие релятивистской кинематики.
Эффект Доплера.
Исследуем относительное релятивистское движение источника электромагнитных волн и приемника, которое всегда можно разложить на продольное движение и движение, направление которого перпендикулярно линии, соединяющие исследуемые два тела. Пусть обе системы отсчета инерциальные, дисперсия отсутствует, волна распространяется в вакууме.
Продольный эффект Доплера.

Рис. 12.3
Пусть относительная скорость движения приемника света и излучателя v и нормаль к плоской волне направлены вдоль одной прямой (оси OX) (рис.12.3). Уравнение плоской волны в системе К:

.	(12.18)

В системе К’, связанной с приемником света:
	(12.19)
С другой стороны в системе К’ уравнение такой плоской волны должно иметь вид:
.					(12.20)
Сравнивая (12.20) и (12.19), получаем:
.				(12.21)

Если v << c , то пренебрегая членами ~2 , получаем формулу, которой чаще всего и пользуются на практике:
.					(12.22)
Сдвигу в область длинных волн (красное смещение) соответствует положительная относительная скорость приемника и излучателя (удаляются друг от друга). При фиолетовом смещении приемник и источник сближаются.
Поперечный эффект Доплера.

Рис. 12.4
Пусть плоская волна распространяется вдоль оси OZ’, а относительная скорость инерциальных систем направлена вдоль OX (OX’) (рис.12.4). В системе K’, связанной с излучателем, нормаль n к исследуемой волне составляет угол  с направлением OZ. В обеих системах уравнение волны примет вид:

(12.23)

Применяя к первому из соотношений (12.23) преобразования Лоренца, получаем:

		(12.24)

Сравнивая (12.24) и второе из соотношений (12.23), получаем:

.				(12.25)

Разложив в ряд и ограничившись членом ~2, получаем

 .				(12.26)

При фиксации прямого угла между нормалью к волне и скоростью в системе, связанной с приемником, поперечный эффект приводит к красному смещению. При задании прямого угла в системе, связанной с излучателем, наблюдается фиолетовое смещение. Поперечный эффект не меняет знака при изменении знака скорости, т.к. он ~2. 
Mетоды определения скорости света.
Решение задачи определения скорости света имеет огромное принципиальное и практическое значение. Основная трудность, на которую наталкивается экспериментатор при определении скорости распространения света, связана огромным значением этой величины, требующим совсем иных масштабов опыта, чем те, которые имеют место в классических физических измерениях.
Первые научные попытки определения скорости света предпринял Г. Галилей (1607 г.): два наблюдателя А и Б на большом расстоянии друг от друга снабжены закрывающимися фонарями. Наблюдатель А открывает фонарь. Через некоторое время свет доходит до наблюдателя Б, который в тот же момент открывает свой фонарь. Спустя определенное время этот сигнал дойдет до наблюдателя А и он может отметить время , прошедшее от момента подачи им сигнала до момента его возвращения. Предполагая, что оба наблюдателя реагируют на сигнал мгновенно и свет обладает одной и той же скоростью в обоих направлениях, получим для скорости света выражение:
 , 

где L – расстояние между наблюдателями.
Попытка Галилея не привела ни к каким результатам, т.к. реально измерялось не время распространения светового сигнала, а время, потраченное на реакцию наблюдателя. Немного улучшает ситуацию замена наблюдателя Б зеркалом. При огромной скорости света даже погрешность, вносимая одним наблюдателем, слишком велика. Но принцип проведения данного опыта лежит в основе ряда современных методов измерения скорости света.