О П Т И К А
Конспект лекций по общему курсу физики
___________________________________________________________
1. Введение.

Оптикой (от греч. opto’s – видимый, зримый) называют учение о физических явлениях, связанных с распространением и взаимодействием с веществом коротких электромагнитных волн, длина которых лежит в интервале 10-4  10-9 м. Его нижнюю границу отождествляют с нижней границей прозрачности основных оптических материалов–диэлектриков. Верхнюю границу можно весьма условно отождествить с максимальной длиной волны излучения, генерируемого лазерами (Например, лазеры на парах H2O  ~ 0,1 мм, лазеры на парах йодистого циана  ~ 0,8 мм). В этом диапазоне наблюдается единство основных оптических закономерностей. Основа этого единства – их волновой характер. Поэтому большее внимание в курсе оптики мы уделим именно волновой природе света.
Электромагнитная теория света возникла в итоге длительного развития взглядов на природу света. Ей предшествовала волновая теория, в которой свет рассматривался как упругое возмущение, распространяющееся в гипотетической среде – эфире. В трудах Френеля (Fresnel Augustin Jean, 1788–1827) и других выдающихся физиков прошлого столетия эта теория была доведена до высокой степени совершенства, но в то же время в ней выявились трудности принципиального характера. Неудовлетворительность старой волновой теории  проявлялась прежде всего  в том, что для объяснения наблюдаемых оптических явлений эфир приходилось наделять весьма экзотическими и противоречивыми свойствами, несовместимыми с законами механики.
В середине прошлого столетия на основе связанных главным образом с исследованиями Фарадея (Faraday Michael, 1791–1867) экспериментальных открытий в области электрических и магнитных явлений Максвелл (Maxwell James Clark, 1831–1879) сформулировал систему уравнений электродинамики, подытожив все имеющиеся в этой области знания. Наиболее важным следствием уравнений Максвелла оказалась возможность существования электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме со скоростью, значение которой равно электродинамической постоянной с, входящей в эти уравнения. Значение с впервые было получено Кольраушем (Kohlrausch Rudolf, 1809–1858) и Вебером (Weber Wilhelm Eduard, 1804–1891) в 1856 г. на основе чисто электрических измерений. Найденная таким образом скорость электромагнитных волн совпала со скоростью света в вакууме, измеренной к тому времени достаточно точно. Это совпадение и навело Максвелла на мысль, что свет представляет собой электромагнитные волны. Таким образом, несмотря на очевидные различия в способах возбуждения и регистрации электромагнитных волн разных диапазонов, все эти волны имеют единую природу, и законы их распространения описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями – уравнениями Максвелла. Электромагнитная природа света установлена в результате совпадения свойств электромагнитных волн, описываемых уравнениями Максвелла, и свойств света.
Феноменологическую электромагнитную теорию углубляет классическая электронная теории, рассматривающая движение дискретных электрических зарядов в веществе и их взаимодействие с электромагнитным полем. Хотя классическая электромагнитная теория правильно описывает широкий спектр оптических явлений, но она является ограниченной. Трудности, а порой и невозможность применения классической теории к целому ряду явлений (фотоэффект, фотохимические процессы) привели к созданию квантовой теории, в которой электромагнитное поле рассматривается как совокупность частиц, называемых фотонами или световыми квантами. Классическое волновое описание является предельным случаем квантового описания (число квантов в одном состоянии очень велико). В общем курсе оптики мы будем использовать классический волновой подход и лишь для описания некоторых оптических явлений будем прибегать к квантовому описанию.
Большое значение оптической области спектра электромагнитных волн для практической деятельности человека обусловлено прежде всего тем, что внутри нее в узком интервале длин волн от 0,4 до 0,7 мкм лежит участок видимого света, непосредственно воспринимаемого человеческим глазом. Данный диапазон определяется как спектральными характеристиками солнечного излучения, достигающего поверхности Земли, так и особенностями эволюционного развития человека. Коротковолновое (менее 0,3 мкм) излучение Солнца практически полностью поглощается озоном в верхних слоях земной атмосферы. Наиболее подходящим для зрения является диапазон вблизи максимума солнечного излучения (~ 0,5 мкм). Микроволновый же диапазон непригоден для “качественного” зрения из-за присутствия здесь больших тепловых “шумов”.
С точки зрения физики происходящих процессов выделение столь узкой спектральной области видимого света не имеет особого смысла, поэтому в понятие оптического диапазона включают обычно еще инфракрасное и ультрафиолетовое излучение. Но и для них принятые границы спектра в значительной степени условны. По существу, они определяются используемыми способами получения и регистрации электромагнитных волн.
Определим место видимого диапазона на шкале электромагнитных волн. Как известно из курса электричества, частота электромагнитной волны (ЭМВ) связана с ее длиной в вакууме соотношением:

  с /  ,                           			      (1.1)

где с – скорость распространения ЭМВ в вакууме.
Энергия квантов света, как показано в квантовой теории, равна:

Ек  =      = ħ , 	                  			(1.2)

где  = 2 – круговая частота,  = 2ħ – постоянная Планка.
Пользуясь указанными величинами, составим таблицу ЭМВ:

Название	Границы диапазона	
диапазона
ЭМВ	По длинам волн ,
нм	По энергии квантов ЕК, эВ	
	min	max	min	max	
 - излучение	—	0,0012	106	—	
рентгеновский	0,0012	12	100	106	
ультрафиолетовый	12	380	3,2	100	
видимый	380	760	1,6	3,2	
инфракрасный	760	106	1,210-3	1,6	
радиодиапазон	106	—	—	1,210-3	

Фундаментальной основой оптики является электромагнитная волновая теория света. Особенно возрастает значение этой теории в связи с революцией, которая в настоящее время происходит в оптике под влиянием успехов квантовой электроники – науки о генерации когерентного (лазерного) излучения, его взаимодействии с веществом и применении лазеров в различных областях человеческой деятельности. С появлением лазеров, мощных источников когерентного монохроматического излучения в оптическом диапазоне электромагнитных волн, вес волновой теории в оптике резко возрос. В оптику широко проникли методы соседнего диапазона электромагнитных волн – радиодиапазона.

2. Описание электромагнитных волн.
Уравнения Максвелла для ЭМВ, распространяющихся в вакууме при отсутствии токов (j = 0) и зарядов ( = 0) имеют вид:

   					(2.1)    (2.6)

где E и H – напряженности, D и B – индукции электрического и магнитного полей соответственно, 0 и 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные. Уравнения (2.5), (2.6) называются материальными. Именно они учитывают влияние свойств среды на процесс распространения ЭМВ в ней.
Пользуясь уравнениями Максвелла, выведем волновое уравнение и определим далее основные свойства ЭМВ. Применим к обеим частям уравнения (2.1) операцию rot, далее воспользуемся остальными уравнениями и векторным равенством

rot rot B = grad div B – 2B. 					(2.7)

Приняв во внимание, что порядок дифференцирования по независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить, получим волновое уравнение для B:

						(2.8)

где введено обозначение:

  — скорость света в вакууме. 				(2.9)

Повторив аналогичную процедуру применительно к уравнению (2.2), получим волновое уравнение для поля  E:

					(2.10)

Найдем решение этого уравнения для скалярной функции Ф=Ф(r,t). Пусть эта функция является по крайней мере дважды дифференцируемой функцией. Исследуем сначала очень важный частный случай – одномерную задачу, когда скалярная функция Ф зависит только от одной из декартовых координат Ф = Ф(z,t). Это означает, что в данный момент времени t при z = const функция Ф имеет вполне определенное значение, одинаковое на всей плоскости  z = const. Такое соответствующее поле называется однородным. В этом случае волновое уравнение принимает вид:

					(2.11)

Используя новые формальные независимые переменные

 = z – ct,		 = z + ct,					(2.12)
получаем

			(2.13)

С помощью почленного вычитания и аналогичного сложения правых и левых частей можно переписать эти уравнения в другом виде:

			(2.14)

Перепишем (2.14) в операторном виде:

		(2.14’)
Перемножив эти уравнения (с операторной точки зрения) 
 			(2.15) 

с учетом (2.11), получаем:

						(2.15’)

Интегрируя (2.15’) по , получаем функцию, зависящую только от :

							(2.16)

Интегрируя далее (2.16) по , получим решение в виде:

					(2.17)

где постоянная интегрирования С1 является функцией , в чем можно убедиться, проинтегрировав (2.15’) сначала по , а затем по . Отсюда получаем общее решение в виде:

или окончательно в исходных переменных:

				(2.18)

Выясним физический смысл полученного решения волнового уравнения. Сначала проанализируем решение

						(2.19)

График функции Ф2 (z) в моменты времени t и t+t  изображен на рис. 2.1. Значение аргумента функции в точке z в момент времени t совпадает со значением аргумента функции в точке z+z в момент t+t, если z=ct, т.к.

Рис. 2.1

z – ct = z +z – c(t +t)	(z = ct) .	(2.20)

Поэтому функция Ф2(z – ct) описывает волну произвольной формы, движущуюся со скоростью v = z/t = c в направлении положительных значений оси Z. В процессе движения значение Ф2 в каждой точке волны и форма волны не изменяются.
Аналогично функция Ф1(z+ct) описывает волну произвольной формы, движущуюся со скоростью с в направлении отрицательных значений оси Z. Значение Ф1 в каждой точке волны и форма волны в процессе движения не изменяются.
Волна, описываемая формулой (2.18), является суперпозицией двух волн, движущихся в противоположных направлениях. В простейшем случае получается стоячая волна, а в общем случае – сложное электромагнитное поле, свойства которого требуют специального изучения.
Значение функции Ф для фиксированных z и t является постоянным на плоскости, перпендикулярной оси Z. Поэтому такие волны называются плоскими.
Сферические волны. Рассмотрим изотропную волну от точечного источника. Тогда решение уравнения (2.10) будем искать в виде Ф(r,t), где r – расстояние от точечного источника. В сферической системе координат (r, , ) :

		(2.21)

а искомое решение из соображений симметрии не зависит от угловых координат. Тогда волновое уравнение примет вид:
				(2.22)

т.е. имеет вид (2.11), если произвести замену z r, Ф rФ. Тогда общее решение уравнения (2.22) имеет вид:

					(2.23)

Выясним физический смысл полученного решения. Второе слагаемое представляет собой волну, движущуюся  в направлении увеличения значений r, т.е. от центра (точечного источника). Такая волна называется расходящейся. Первое слагаемое описывает волну, движущуюся в направлении уменьшения r, т.е. к центру. Такая волна называется сходящейся. Общее решение является суперпозицией сходящейся и расходящейся волн. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным. Такие волны называются сферическими.
Плоские гармонические волны. Если Ф1 и Ф2 в (2.18) являются гармоническими функциями своего аргумента, то волна называется гармонической. Волна, описываемая функцией 

					(2.24)

называется плоской гармонической волной. Постоянная А называется амплитудой волны,  – ее частотой. Необходимо отметить, что это выражение описывает лишь частный случай плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении положительных значений оси Z. Движущуюся волну часто называют бегущей. Т.к. аналогичное (2.24) выражение можно записать и для синусоидальной функции, то общее выражение для бегущей волны в положительном направлении оси Z имеет вид:

			(2.25)

Выбором начала системы отсчета (2.25) можно свести к (2.24).
Аналогично общее выражение для бегущей волны в отрицательном направлении оси Z имеет вид:

			(2.26)

Аргумент гармонической функции в этих выражениях называется фазой волны. Тогда исходя из этого понятия, можно дать другое определение плоской волны. Волна, у которой поверхностями постоянных фаз являются плоскости, называется плоской.  Учитывая, что  = сТ = 2с/, (2.24) можно записать в виде:

					(2.27)

где k =  / c = 2 /  – волновое число.							(2.28)
 Волновой вектор.  В общем случае, когда решается трехмерное волновое уравнение, удобнее освободиться от координатного представления и записать решение для плоской волны в векторном виде. Рассмотрим случай бегущей в положительном направлении оси  Z плоской гармонической волны (2.27) (рис. 2.2.). Введем вектор k, называемый волновым, модуль которого равен волновому числу, а направление совпадает с осью Z. Тогда для произвольной точки с радиус-вектором r вместо (2.27) можно записать:

				(2.29)

Эта формула не зависит от системы координат и характеризует в общем случае плоскую волну, распространяющуюся в направлении вектора k.

Рис. 2.2
Замечание. Плоскую гармоническую волну можно рассматривать как частный случай гармонических волн общего вида

		(2.30)

где А(r) и g(r) зависят от положения r рассматриваемой точки. Поверхности постоянной фазы такой волны, вообще говоря, не совпадают с поверхностями постоянной амплитуды. В таком случае говорят, что волна неоднородна.
Представление плоской волны в комплексной форме. Принимая во внимание формулу Эйлера 

			(2.31)

представим (2.29) и аналогичное синусоидальное решение формулами

		(2.32)

Общее решение для плоской волны в комплексной форме можно записать в виде

				(2.33)

где  – в общем случае комплексная величина, называемая комплексной амплитудой. Тогда учитывая, что

				(2.34)

запишем (2.33) в виде

				(2.35)

т.е. всегда есть возможность любую гармоническую волну представить в виде (2.35) с действительной амплитудой.
Плоская электромагнитная волна. Вернемся к электромагнитным волнам, являющимся решением уравнения (2.8) и (2.10). Для анализа структуры плоской ЭМВ воспользуемся записью уравнений Максвелла с помощью определения и свойств оператора Гамильтона (набла-оператора):

		(2.36)

Тогда уравнения Максвелла (2.1)  (2.6) примут вид:
					(2.37)  (2.40)

Решение этих уравнений ищем в виде:

					(2.41)
					(2.42)

где E0 и B0 – постоянные векторы, не зависящие от координат и времени (в общем случае компоненты этих векторов могут быть комплексными). Учитывая, что 

		(2.43)

и подставляя решения (2.41) и (2.42) в уравнения Максвелла (2.37)  (2.40), получаем следующие важные соотношения, описывающие структуру плоской ЭМВ:

				(2.44)  (2.47)

Из этих соотношений можно сделать следующие выводы:
1. Векторы Е и В плоской волны перпендикулярны вектору k, т.е. направлению распространения. Это означает, что плоская ЭМВ является поперечной. E, B и k составляют тройку взаимно перпендикулярных векторов. Поперечность световых колебаний была открыта в 1817 г. Юнгом (Joung Thomas, 1773–1829).

2. Из (2.45) можно получить соотношение между напряженностью электрического поля и магнитной индукцией плоской ЭМВ в вакууме:

E = cB .							(2.48)

3. Т.к. k, , 0, 0 – вещественные величины, то это значит, что E и B в плоской ЭМВ колеблются в одинаковой фазе.

Плотность потока энергии электромагнитных волн   определяется вектором Пойнтинга (Poynting Henry, 1852–1914):

						(2.49)
		
В случае плоской волны модуль вектора Пойнтинга может быть представлен в виде:

		(2.50)

При характерных для оптического диапазона высоких частотах  ( 1015 с-1) колебания потока энергии волны в каждой точке, происходящие в соответствии с (2.50) на частоте 2, ненаблюдаемы и физический интерес представляет лишь среднее по времени  значение S, называемое обычно интенсивностью света. Учитывая, что E=E0 cos t, где E0 – амплитуда напряженности электрического поля, находим для интенсивности световой волны:

				(2.51)

Плотность импульса электромагнитной волны. ЭМВ обладает не только энергией, но и импульсом. В курсе “Электричество” было показано, что плотность импульса  G  ЭМВ связана с плотностью потока энергии S в ней соотношением:

					(2.52)

Давление света. Идея о давлении света была высказана еще Кеплером (Kepler Johannes, 1571–1630) для объяснения отклонения хвостов комет от Солнца во время их прохождения вблизи его. Действительно, если при отражении света меняется его импульс, то на тело воздействует соответствующая сила, т.е. возникает световое давление. Первый достоверный опыт по обнаружению светового давления провел выдающийся отечественный физик-экспериментатор П.Н. Лебедев (1866–1912) в 1900 г.
Если ЭМВ падает нормально на плоскую поверхность и полностью поглощается, то световое давление

,					(2.53)

т.к. за 1 с на 1 кв. метр передается импульс G. Если поглощение частичное, а остальное отражается и  – коэффициент поглощения, то Sпогл = S и по закону сохранения энергии Sотр = (1– )S , тогда  , откуда

 .					(2.54)

Видно, что если поверхность, на которую направляется ЭМВ полностью отражающая, то давление света на нее в два раза больше, чем на полностью поглощающую поверхность.
Суперпозиция  ЭМВ.  Напряженность электрического поля и магнитная индукция равны соответственно сумме напряженностей и магнитных индукций  всех полей в данной точке независимо от их происхождения, частоты и направления распространения. Однако полученная в результате сложения полей совокупность электромагнитных полей, вообще говоря, не составляет бегущую электромагнитную волну.
Суперпозиция бегущих плоских монохроматичных ЭМВ.
Пусть заданы две волны, для которых k1= k2= k, 1 = 2 =  и

					(2.55)

					(2.56)
Складывая почленно (2.55) и (2.56) и обозначив

				(2.57)

получаем:
				(2.58)

Две плоские монохроматические бегущие ЭМВ с одинаковой частотой, распространяющиеся в одном и том же направлении, в результате сложения дают плоскую монохроматическую ЭМВ той же частоты, распространяющуюся в том же направлении.

Биения.  Рассмотрим случай, когда 1  2 , E1  E2 :

				(2.59)

В соответствии с принципом суперпозиции имеем:

			(2.60)

Рис. 2.3
Мы получили незатухающую бегущую в сторону +Z немонохроматическую волну.  Т.к. в оптическом диапазоне обычно | 1 – 2 |   1 + 2 , то сомножитель  в (2.60)

является медленно меняющейся амплитудой ЭМВ с частотой (1 + 2) / 2 (см. рис.2.3). Гармонические колебания с медленно изменяющейся амплитудой называются биениями. Понятие “медленно изменяющаяся амплитуда” определяется относительно основного гармонического колебания: амплитуда мало меняется в течение многих периодов основного гармонического колебания. Частота  = |1 – 2| называется частотой биений.
Стоячие волны. Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических волн с   1 = 2 =  ,  E10 = E20 = E0 ,  E1  E2  и распространяющихся навстречу друг другу:

				(2.61)

где  – разность фаз. Тогда
			(2.62)

Сомножитель  с точностью до знака можно рассматривать как амплитуду колебаний напряженности поля в заданной точке z . Она изменяется от точки к точке по гармоническому закону. Напряженность во всех точках  изменяется с одинаковой частотой в одной фазе. Такая волна называется стоячей. В точках оси Z, где  поле E = 0 (такие точки называются узлами). В точках оси Z, где  поле E – максимально (такие точки называются пучностями). Расстояние между узлами (или пучностями) равняется половине длины бегущей волны –  /2. Кроме того, колебания напряженности во всех точках стоячей волны в некоторый момент времени находятся в одной и той же фазе (например, E = 0  во всех z при ), тогда как колебания напряженности электрического поля в различных точках бегущей волны не совпадают по фазе.
Магнитная индукция в данном случае получается из суперпозиции магнитных индукций волн:

				(2.63)

Суммарное поле отыщется в виде:
 
				(2.64)

Рис. 2.4
Видно, что вектор B также образует стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей волны E (рис.2.4). По времени колебаний электрического и магнитного полей стоячей ЭМВ отличаются по фазе на четверть периода колебаний. Это означает, что если E достигает максимума, то B = 0, если же E растет, то B уменьшается.
Преобразование энергии в стоячей волне.   Т.к. , то поток энергии отсутствует в точках, где E = 0 или B = 0 (H = 0). Поток энергии через узлы и пучности в такой волне отсутствует. Поэтому с течением времени энергия движется между соседними узлами и пучностями, превращаясь из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и наоборот, а пользуясь формулой для объемной плотности энергии электромагнитного поля

			(2.65)

можно сказать, что энергия стоячей волны, заключенная между соседними узлами и пучностями, остается постоянной с течением времени.
Поляризация электромагнитных волн. Если для продольных волн (например, звуковых) все направления, перпендикулярные направлению распространения волн, равноправны, то для электромагнитных, т.е. поперечных волн они не равноправны. Поляризация света – это физическая характеристика оптического излучения, описывающая поперечную анизотропию световых волн, т.е. неэквивалентность различных направлений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. 
Представление о поляризации света как его особом физическом свойстве впервые ввел И. Ньютон (Newton Isaak, 1643–1727) в 1704 г. Сам термин “поляризация” принадлежит французскому инженеру и физику Э. Малюсу (Malus Etienne, 1775–1812). Световые волны, у которых направления колебаний векторов электрического E  и магнитного H полей сохраняются неизменными в пространстве или изменяются по определенному закону, называются поляризованными.
Если вектор E световой волны колеблется лишь в одной неизменной в пространстве плоскости, то такая волна называется линейно или плоско поляризованной. При линейной поляризации плоскость, содержащая волновой вектор k и вектор E, называется плоскостью поляризации волны.
Если же колебания вектора E совершаются так, что его конец описывает окружность в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны k, то такая волна называется поляризованной по кругу, если эллипс, то эллиптически поляризованной.
Световая волна, в которой различные направления вектора E в поперечной к направлению распространения волны плоскости равновероятны, называется естественной (естественно поляризованной или неполяризованной). 
Суперпозиция двух линейно поляризованных волн. Рассмотрим суперпозицию двух линейно поляризованных волн с одинаковыми частотами , амплитудами электрических полей E1 и E2, распространяющихся в одном направлении (вдоль оси Z декартовой системы координат) со сдвигом фаз . Пусть вектор E1 колеблется в плоскости XZ, а вектор E2 – в плоскости YZ:
			(2.66)

Найдем состояние поляризации суммарной волны, определяемой суперпозицией полей E ={Ex; Ey; Ez}= E1+E2, складывая покоординатно поля (2.66). Второе уравнение в (2.66) перепишем в виде:

			(2.67)

Исключая в (2.67) с помощью (2.66) и , получаем:
				(2.68)

После перегруппировки получаем окончательно уравнение, описывающее состояние поляризации суммарного поля в общем виде:

				(2.69)

Рассмотрим основные случаи состояния поляризации. Если , то уравнение (2.69) принимает вид:

Рис. 2.5

				(2.70)

При  это выражение является уравнением эллипса с центром в начале системы координат и осями, направленными вдоль осей X и Y (рис.2.5). Поляризация при этом называется эллиптической. Если при наблюдении навстречу волне вращение вектора E в фиксированной плоскости (перпендикулярной волновому вектору) происходит по часовой стрелке, то такая волна называется правой эллиптически поляризованной волной, если против часовой стрелки – левой эллиптически поляризованной волной.  
Если , то эллипс вырождается в окружность. Такая поляризация называется круговой или циркулярной. Понятия правой и левой круговой поляризации применимы здесь аналогично определенным выше для эллиптической поляризации.

Рис. 2.6
 При  (общий случай выражения (2.69)) поляризация является также эллиптической, главные оси эллипса не совпадают с осями координат (рис.2.6). Ориентация эллипса зависит от сдвига фаз . При этом эллиптичность поляризации остается и при .
При  уравнение (2.69) описывает прямые:

		(2.71) 
Конец суммарного вектора электрического поля движется вдоль соответствующего отрезка прямой (2.71) (рис.2.7). Получаемая линейно поляризованная волна является предельным случаем эллиптически поляризованной волны.
Видно, что световая волна с любой поляризацией может быть представлена в виде суперпозиции двух линейно поляризованных во взаимно-перпендикулярных плоскостях волн. Поэтому можно сказать, что электромагнитные волны обладают двумя независимыми состояниями поляризации. 
Рассмотрим противоположный случай – суперпозицию волн с левой и правой круговыми поляризациями. Пусть при некоторой фиксированной координате z заданы компоненты их полей E1 (левая) и E2 (правая):

				(2.72)

Рис. 2.7

В результате их суперпозиции получается линейно поляризованная волна с 

				(2.72)
Если между двумя круговыми волнами в (2.71) есть сдвиг фаз, то результирующий вектор линейно поляризованной волны будет колебаться в плоскости, расположенной под некоторым углом к оси X.
Усреднения. Если в физических теориях обычно пользуются мгновенными значениями величин, то в физическом эксперименте измеряют средние значения величин по некоторому объему и промежутку времени:

		(2.73)

где V и  – соответственно объем и интервал времени усреднения.
Результат усреднения зависит от размеров области усреднения. Масштабы изменения f, меньшие области усреднения, не фиксируются в усредненных величинах.
Если в области усреднения V в любой момент промежутка времени  усреднения величина f изменяется незначительно и этим изменением можно пренебречь, то все операции усреднения в этом случае сводятся к усреднению по времени:
					(2.74)

Отметим, что из определения операции усреднения следует, что эта операция является линейной.
Усреднение гармонических функций. Воспользуемся известными формулами для определенных интегралов. Т.к 

и  ,					(2.75)

то 							(2.76)

Результатом усреднения гармонической функции является гармоническая функция с той же частотой, но с амплитудой, умноженной на . Амплитуда усредненной гармонической функции быстро убывает с увеличением .
В оптике при    1015 с-1 нет приборов, измеряющих напряженности полей за время  1/ , а регистрируются лишь усредненные по многим периодам колебаний значения.
Усреднение квадратов гармонических функций. Получим аналогичные выражения для квадратов гармонических функций:

		(2.77)

При увеличении интервала времени усреднения  среднее значение  квадрата гармонической функции, колеблясь, стремится к постоянному значению 1/2.

3.  Немонохроматическое  излучение.
Реальное излучение имеет конечную продолжительность и происходит со случайно изменяющимися амплитудой и фазой. Ограниченность по времени и монохроматичность исключают друг друга. Реальную ЭМВ можно представить в виде наложения монохроматических волн с различными частотами в соответствии с принципом суперпозиции полей. С математической точки зрения спектральный состав излучения анализируется с помощью Фурье–преобразований.

Ряд Фурье в действительной форме.  В курсе математического анализа было показано, что при достаточно общих условиях, обычно удовлетворимых в физических задачах, периодическая функция f(t) с периодом T может быть представлена рядом Фурье:

				(3.1)

где 		(3.2)

Ряд Фурье в комплексной форме. С помощью формулы Эйлера можно получить:
					(3.3)

где		 				(3.4)

Коэффициенты an , bn , cn связаны равенствами:

			(3.5)

Интеграл Фурье в действительной форме. Непериодическую функцию f(t) нельзя представить рядом Фурье. Если f(t) кусочно–непрерывна, имеет конечное число экстремумов и абсолютно интегрируема на интервале (–, ), то 
				(3.6)

Это выражение может быть получено из (3.1) при T .
Интеграл Фурье в комплексной форме имеет вид:

				(3.7)
где 		 – Фурье-образ функции  f(t)  		(3.8)
	(комплексный спектр или просто спектр функции f(t)).
Спектр амплитуд и спектр фаз.    Обозначив

	(3.9)

из (3.1) получаем:
			(3.10)

Совокупность An называется спектром амплитуд  функции f(t), а совокупность n – спектром фаз. Частоты по определению имеют положительные значения.
В комплексной форме:

			(3.11)

Комплексный спектр (3.8) эквивалентен амплитудному и фазовому спектру

	(3.12)
Для вещественной функции f(t)  и тогда
	 (3.13)

или 						(3.14)

где                            			(3.15)

Периодические функции характеризуются дискретными спектрами, а непериодические – непрерывными.
Примеры спектров конкретных функций (остальные типичные примеры оставляем на самостоятельное повторение):
1. Спектр периодически повторяющихся прямоугольных импульсов.

Чем меньше длительность  импульсов по сравнению с периодом их повторения T, тем больше число гармоник (рис.3.1).

Рис. 3.2

Рис. 3.1

2. Спектр прямоугольного импульса.

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Соотношение между продолжительностью импульса и шириной спектра.
Продолжительностью (длительностью) импульса называется промежуток времени t, в теченикоторого импульс существенно отличается от 0. Шириной спектра называется интервал частот , на котором амплитуда спектра существенно отлична от 0. Вообще говоря, при таком расплывчатом определении универсального соотношения между t и  не существует, но есть универсальная закономерность: ширина спектра обратно пропорциональна продолжительности импульса

						(3.16)

Точное соотношение зависит от формы исследуемого сигнала и от точного определения величин t и .
Отрицательные частоты. Чаще всего удобнее пользоваться не (3.14), а (3.8), т.е. функцией F(). Но тогда возникает вопрос о смысле отрицательных частот. F() при  > 0 описывает плотность спектральной компоненты частоты  с положительным направлением вращения единичного (базисного) комплексного вектора еit , а F(–) – плотность спектральной компоненты той же частоты , но с отрицательным направлением вращения базисного комплексного вектора е–it. Таким образом, обращение к отрицательным частотам связано с изменением базисных функций, с помощью которых осуществляется Фурье-преобразование, а именно с переходом к вращающимся комплексным векторам как базисным функциям Фурье-преобразования.
Энергетические спектры. Выразим полную энергию световой волны через интенсивность ее компонент Фурье, вычислив интеграл от E2(t) по времени:

 ,				(3.17)

где E – Фурье-образ поля E(t) и мы воспользовались (3.7). Изменяя порядок интегрирования по  и по t, и используя (3.8), получаем соотношение, называемое теоремой Планшереля:

		(3.18)

Отсюда следует, что полная энергия немонохроматической волны выражается через интеграл по положительным частотам от ее спектральной плотности, характеризующей распределение энергии волны по спектру частот. Отметим, что если E в соответствии с (3.7) полностью определяет поле E(t), то знание спектральной плотности энергии еще не позволяет восстановить функцию E(t). В энергетическом спектре уже не содержится информация о фазовом спектре. Поэтому данное поле E(t) характеризуется вполне определенным спектром, но одному и тому же спектру могут соответствовать различные E(t).
Математическому разложению немонохроматической волны в ряд или интеграл Фурье для нахождения спектральной плотности ее энергии можно сопоставить реальный физический процесс – экспериментальное измерение спектра такой волны с помощью соответствующего анализатора (спектрального прибора).
Модулированные волны. Гармоническое колебание, описывающее волну, характеризуется амплитудой, частотой и фазой. Изменение этих параметров в процессе колебания называется модуляцией, а волны при этом – модулированными.
Общий случай амплитудной модуляции:

				(3.19)

Пусть 									(3.20)

Тогда 									(3.21)

или 				(3.22)

Рис. 3.5
т.е. спектральный состав колебания сводится к трем частотам:  (несущая) и    (боковые) (рис.3.5). Если a(t) – периодическая, но не гармоническая функция времени, то спектр состоит из набора частот   n. Общая ширина спектра определяется шириной спектра a(t).
Теперь рассмотрим модуляцию частоты и фазы. Соотношение между частотной и фазовой модуляцией получается как следствие записи фазы колебаний через зависящую от времени частоту:

	(фаза).			(3.23)

Тогда 										(3.24)

Рассмотрим  гармоническую модуляцию частоты

					(3.25)

где о – постоянная частота, около которой происходят колебания частоты с амплитудой  и частотой . Тогда 
				(3.26)

Если 					(модуляция фазы),		 (3.27)

то 	 		   (модуляция частоты).	(3.28)

Частотная и фазовая модуляции полностью эквивалентны только тогда, когда они гармонические. При негармонической модуляции эквивалентность невозможна и структура сигналов различна.

Для частотной модуляции: 
{медленное изменение сигнала (малая )}  
{большие колебания по фазе ( )}

Для фазовой модуляции:
{медленное изменение сигнала (малая )}  
{малые амплитудные колебания частоты (  )}

Способ осуществления обычно тоже различен. При частотной модуляции изменяется частота самого генератора, а при фазовой модуляции фаза модулируется уже после генератора.
Волновые пакеты. В отличие от распространения в вакууме, в среде скорость ЭМВ меньше c = const и зависит от частоты. Зависимость скорости волны от частоты называется дисперсией.
Рассмотрим суперпозицию двух волн:

					(3.29)

Фазовая скорость определяется из условия:						(3.30)

.					(3.31)

Для результирующего поля имеем:

  (3.32)

(См. рис.2.3)
Если дисперсии нет, то формула (3.32) совпадает с формулой (2.60).
Суперпозиция двух и более волн с различными частотами составляет группу волн (волновой пакет). Скоростью группы волн или групповой скоростью u называется скорость движения максимума огибающей амплитуды группы волн. Для (3.32):

					(3.33)

Если дисперсия отсутствует, то u = v. При наличии дисперсии групповая скорость отличается от фазовой. Если , то

					(3.34)

Суперпозиция колебаний с эквидистантными частотами. Пусть происходит N колебаний одинаковой амплитуды E0 , частота которых различается на . Тогда их суперпозиция имеет вид:
	(3.35)

Рис. 3.6
где  – средняя частота колебаний, составляющих волновой пакет (рис.3.6),  – полная ширина частот волнового пакета.
Энергия волнового пакета даже при N>>1 сосредоточена в сравнительно небольшом интервале частот. Поэтому такие волновые пакеты часто называют импульсами.
Общий случай. Рассмотрим импульс, состоящий из бесконечно большого числа монохроматических плоских волн, непрерывно заполняющих интервал частот , где . Диапазону частот  соответствует диапазон волновых чисел . Тогда для результирующей напряженности поля имеем:

.			(3.36)

(Размерность заключена в амплитуде). Выражение для фазы колебания преобразуем к виду:

.		(3.37)

Тогда для результирующего поля E получаем:

.			(3.38)

Получилось уравнение плоской волны с 0 и k0 и медленно меняющейся в пространстве и во времени амплитудой (огибающей) C(z,t), т.к.  и :
.			(3.39) 

Т.к. функция (k) изменяется в узком интервале волновых чисел вблизи k0 , то ( – 0) можно разложить в ряд:

		(3.40)

Ограничившись в разложении первым членом ряда, получаем:

.			(3.41)

В этом приближении  C(z,t) представляет собой суперпозицию низкочастогтных монохроматических составляющих, распространяющихся с одинаковой скоростью. Зависимость от координат и времени у всех составляющих одинакова, и волновой пакет (импульс) движется как единое целое (не деформируясь) с групповой скоростью . Учет членов более высокого порядка в (3.40) показывает, что форма импульса в процессе распространения изменяется.
В линейном приближении может случиться, что групповая скорость в некоторых областях частот окажется больше скорости света в вакууме. Это невозможно в соответствии с теорией относительности. Разрешение этого противоречия состоит в том, что в этих областях (т.н. областях с аномальной дисперсией) линейное приближение является недостаточным и необходимо использовать следующие члены разложения.
Формула Рэлея. Установим связь между групповой и фазовой скоростями. Используя определения фазовой скорости (3.31) и групповой скорости (3.34), запишем:

.				(3.42)

Учитывая, что 
,				(3.43)

получаем окончательно выражение, называемое формулой Рэлея, позволяюще по заданному закону дисперсии v() получить значение групповой скорости:

.						(3.44)
Все сказанное для приближения (3.41) справедливо и для формулы Рэлея.